Hogyan kell kiszámolni a felezőmerőleges egyenletét?

Legyen A(a1;a2) és B(b1;b2).

1. Kiszámolod az A és B pontokon átmenő egyenese meredekségét:

m=(b2-a2)/(b1-a1).

2. Képezed a merőleges egyenes meredekségét:

mm=-1/m.

3. Kiszámítod a felező pont helyét, ez:

F(f1;f2), ahol f1=b1-a1 és f2=b2-a2.

4. A merőleges egyenes egyenletét y=mm*x+B alakban keressük, ahol mm már ismert szám.

5. Behelyettesíted x és y helyére az f1 és f2 számokat:

f2=f1*mm+B, ebből kifejezed B értékét:

B=f2-f1*mm.

6. Most már feltudod írni a keresett egyenletet:

y=mm*x+B, ebbe mm; és B számokat beírod, ennyi.

Nem kell ide semmilyen normálvektor, irányvektor, csak a diákok hülyítese az egész, mikor ilyen egyszerűen meg lehet oldani...

Na ezen algoritmus alapján már bárki kiszámolja, remélem világos minden.

Bocsánat, a felező pontoknál még nyílván 2-vel osztunk, helyesen:

f1=(b1-a1)/2 és f2=(b2-a2)/2.

A (szakasz)felező merőleges (mint ahogy a neve is mutatja) a szakasz felezőpontján megy keresztül. Felezőpont koordinátáit még könnyű kiszámolni; a koordináták átlaga (más osztópontnál nem ennyire egyszerű a helyzet):

(2+(-1))/2=0,5, ez lesz az első koordináta

(-3+7)/2=2, ez a második, tehát a szakasz felezőpontja: (0,5;2). Mivel azt akarjuk, hogy az egyenes ezen a ponton haladjon, át, ezért ez lesz a "P0" pont (ha így megérted). De azt is akarjuk, hogy a szakaszra merőleges legyen, ezért még szükségünk van a két megadott pont által meghatározott szakaszra (az iránya mindegy):

AB->(-1-2 ; 7-(-3))=(-3;10)

A keresett egyenes merőleges a szakaszra, és a szakasz is merőleges az egyenesre, ezért a szakaszból kiszámolt vektor is merőleges az egyenesre, így az (definíció szerint) az egyenes normálvektora lesz. Ezzel minden adott az egyenes egyenletének felírásához:

-3x+10y=-3*0,5+10*2=18,5, tehát

-3x+10y=18,5 a keresett egyenes egyenlete.

Én speciel jobban szeretem, hogyha x együtthatójának előjele pozitív, és hogyha (ha megoldható) minden szám egész legyen. Ezért az egyenletet ha (-2)*vel szorozzuk:

6x-20y=-37,

ami ugyanazt az egyenest jelöli, csak egészek benne a számok.

5#: Ez így mind szép, és jó, de mi van akkor, hogyha a szakasznak vagy az egyenesnek nincs meredeksége?

Egyébként nem hülyeség, és könnyű begyakorolni is.

#7-nek: Nyílván arra az esetre gondolsz, amikor a szakasz, vagy a merőleges egyenes párhuzamos valamelyik koordináta tengellyel.

Legyen pl. a szakasz párhuzamos az x-tengellyel (azaz a független változó tengelyével). Ekkor nyílván a meredekség zérus.

Ez azt jelenti, hogy a további egyenleteknek szingularitása lesz. Vagyis a merőleges egyenes egyenlete nem függvény, u.is. az f:x->f(x) leképezés nem egyértékű, ezért ebben az esetben a merőleges egyenes egyenletét csak ún. implicit alakban tudjuk megadni.

Azaz esetünkben A(a1;a2) és B(b1;b2), ahol a2=b2 és nyílván F(f1;f2) felezőpontra f1=(b1-a1)/2 és f2=a2=b2.

Az AB egyenes egyenlete könnyen látható módon y=a2=b2 konstans függvény.

A merőleges egyenes egyenlete pedig x=f1 implicit alakban adható meg, amely természetesen nem függvény.

Mellesleg akárhogy is számol valaki, akár normálvektorral, meg irányvektorral, vagy egyéb módon, ugyanennek a megoldásnak kell kijönnie.

Sőt ha paraméteresen végigszámolod más módszerrel, akkor a felvetődött (ún. elfajuló) esetre akkor is szingularitása lesz az egyenletnek. Ezért kell esetszétválasztást tenni, de ezt akkor most meg is tettem, és remélem kimerítő a válasz.

Még annyi, hogy ott van egy harmadik eset is, mikor az AB egyenes párhuzamos az y tengellyel. Bebizonyítható, hogy ekkor a feladatot az x és y változók cseréjével az előzőekben tárgyalt elfajuló esetre lehet visszavezetni.

Remélem kimerítő a válasz. Megjegyzem, úgy érzem, kedves #7-es, hogy nem számítottál arra, hogy ilyen precíz választ fogok adni...

És megint lemaradt a 2-es osztó...

Helyesen: f2=a2/2=b2/2.