P^4 miért utolsó számjegye miért lesz mindig 1? (kivéve a 2-t és az 5-öt)

A prímszámokra (a 2-n és az 5-ön kívül) egy dolog igaz: mindig 1, 3, 7 vagy 9 számjegyre végződnek. Páros számok legalábbis mindig oszthatók 2-vel, ami 5-re végződik az mindig osztható 5-tel. Tehát minden prímszámra igaz, hogy felírható a következők formában:

10a+b

Ahol a "tetszőleges" szám, b = {1,3,7,9}, legyen itt most az egyenlőség jel az "eleme" jel, a "tetszőleges"-t pedig azért tettem idézőjelbe, mert jelenleg 10a+b prímszám (amúgy a megoldás szempontjából mindegy).

(10a+b)^4 = 10000a^4+1000a^3*b+100a^2*b^2+10a*b^3+b^4

Ezekből az első 4 tag mindegyike osztható 10-zel, tehát mindegyik 0-ra végződik, így az első 4 tag összege 0-ra végződik. Mind az 5 tag összegének utolsó számjegyét tehát az 5., b^4 tag utolsó számjegye fogja megadni:

1^4 = 1

3^4 = 81

7^4 = 2401

9^4 = 6561

Tehát amire egy prímszám végződhet (kivéve a 2-t és az 5-öt), azoknak a negyedik hatványa határozza meg a prímszám 4. hatványának az utolsó számjegyét, ami biztosan 1.

Ezzel egyébként nem csak azt bizonyítottuk, hogy a prímszámok (kivéve 2 és 5) 4. hatványa 1-re végződik, hanem azt is, hogy minden 1,3,7,9-re végződő szám 4. hatványa 1-re végződik.