Milyen távol van a P pont a – x + 2 y = 2 egyenletű egyenestől, ha a) P (0; 0) ; b) P (0; –5) ; c) P (1; 4) ; d) P (–3; –7) ; e) P (2; –6) ; f) P (4; 3)?

Az egyenes egyenlete normálva:

(–x + 2*y – 2)/gyök(5) = 0.

A jobb oldalba a pont koordinátáit helyettesítve, éppen a távolságát kapod az egyenestől.

Bocsánat, most nincs kedvem utána nézni/számolni a pontos levezetésnek. Ez nem szép dolog tőlem, de ha az előző választ nagyjából elfogadtad, akkor talán egy kvalitatív fejtegetéssel is beéred:

Ugye lehetne oda más számot is írni, akkor is ugyanaz az egyenes lenne, viszont mikor behelyettesíted egy pont koordinátáit, akkor egy valamilyen szám jönne ki, nem a távolság. Ezért ha ilyesmi képlet formájában keressük a távolságot, akkor oda egy kitüntetett számot kell írni.

Ha ügyesek vagyunk, akkor Pitagorasz-tételes és normálvektoros megfontolásokkal azt kapjuk, hogy oda az x és y együtthatója négyzetösszegének négyzetgyökét kell írnunk:

gyök((–1)^2 + 2^2) = gyök(5).

Még egy megjegyzés, hogy ebből még kijöhet negatív szám is (attól függően, hogy az egyenes melyik oldalán vagyunk a (–1, 2) normál vektorához képest, ugye). De mivel távolság nem lehet negatív, ezért az eredménynek a végén még az abszolút értékét kell venni:

|–x + 2*y – 2|/gyök(5).