Egy egyenes csonka gúla alaplapja ABCD, fedőlapja A'B'C'D'négyzet. Két szemben lévő AA'és CC' oldalélén átmenő síkmetszetének területe a palástja területének harmada, valamint az AC' testátló merőleges az A'C testátlóra (többi lent)?

Valóban szép feladat!

Nem csodálkoznék, ha kiderülne, hogy ez egy versenyfeladat. :-)

Mivel egyetlen méretünk sincs, csak valamelyik adat - vélhetően a magasság - függvényében lehet a szükséges méreteket, a csonka gúla alap- és fedőlapjának hosszát meghatározni, vagyis a feladat az a(m) és a c(m) függvényeket megtalálni.

Két adatunk van:

1. A metszet területe a palást harmada

2. A metszetidom - ami egy szimmetrikus trapéz - átlói merőlegesek egymásra

Úgy gondolom, hogy egy négyzetes csonka gúla és a metszetének felrajzolása nem lehet gond, ezért nem közlök rajzot.

Ha mégis probléma lenne a levezetés megértésében, pótlólag küldök egy ábrát.

Lássuk az első feltételt

Legyen

a' - a metszetidom hosszabbik (a gúla alaplapjának átlója)

c' - a rövidebb alapja (a gúla fedőlapjának átlója)

m - a gúla magassága

Ezekkel a metszet területe

T = (a' + c')m/2

A palást területe

P = (a'² - c'²)/cosß

(Ha probléma lenne ezzel az összefüggéssel, lehet kérdezni)

A feltétel szerint

T = P/3

ebből

P/T = 3

Behelyettesítve

P/T = [(a'² - c'²)/cosß]/[(a' + c')m/2]

Az első zárójelben levő nevezetes szorzatot kibontva

P/T = [(a' - c')(a' + c')/cosß]/[(a' + c')m/2] = 3

Egyszerűsítés után lesz

a' - c' = 3*m*cosß

A térfogat számításhoz szükség lesz az alap- és fedőél hosszára.

Ehhez az egyik az előbb kapott egyenlet, a másik a metszet területéből adódó

a' + c' = 2T/m

és így már van két egyenletünk:

a' + c' = 2T/m

a' - c' = 3*m*cosß

Mielőtt nekiállnánk, lássuk, mit lehet egyszerűsíteni.

Egy merőleges átlójú szimmetrikus trapéz esetén a magasság a két alap számtani közepe, vagyis esetünkben

m = (a' + c')/2

Ezt a metszet területének képletébe betéve azt kapjuk, hogy

T = m²

=====

Lássuk, mi lesz az alap és az oldallap hajlásszöge?

Erre fel lehet írni, hogy

tgß = m/[(a - c)/2)

tgß = 2m/(a - c)

Mivel

a = a'/√2

c = c'/√2

ezért

tgß = 2m√2/(a' - c')

Az (a' - c') fenti értékét behelyettesítve

tgß = 2m√2/[3*m*cosß]

Egyszerűsítve

tgß = 2√2/(3*cosß)

A tangenst felbontva

sinß/cosß = 2√2/(3*cosß)

cosß-val lehet egyszerűsíteni

sinß = 2√2/3

ebből

cosß = 1/3

========

Ezzel máris megválaszoltuk az első kérdést.

Vissza a két alap meghatározásához

a' + c' = 2T/m

a' - c' = 3*m*cosß

Még egyszer a két új összefüggés

T = m²

cosß = 1/3

Behelyettesítve ezeket lesz

a' + c' = 2m

a' - c' = m

Így már sokkal barátságosabban néz ki a leányzó.:-)

A két egyenletet összeadva

2a' = 3m

a' = 3m/2

Az elsőből kivonva a másodikat

2c' = m

c' = m/2

Ezekkel a csonka gúla alap- és fedőlapjának élhossza

Mivel

a = a'/√2

c = c'/√2

a = m*3√2/4

=========

c = m*√2/4

=========

Ezzel minden szükséges adatot ismerünk a magasság függvényében, a második kérdésre így már könnyű válaszolni. :-)

DeeDee

***********

Akkor kezdjük. :-)

Elnézést kell kérnem, én hibáztam, lemaradt egy 2-es a nevezőből.

A képlet helyesen:

A palást területe

P = (a'² - c'²)/(2*cosß)

Ez az a hiányzó 2-es, amit a második kérdésben hiányoltál. :-)

Ami a képlet tartalmát illeti:

azt fogalmazza meg, hogy a palástnak az alaplapra merőleges vetülete egyenlő az alap- és fedőlap területének különbségével.

Ha felrajzolod egy egyenes, négyzet alap- és fedőlapú csonka gúla felülnézetét, az nem lesz más, mint két koncentrikus négyzet.

Esetünkben a négyzetek átlójával dolgozunk, és ezzel van kifejezve a két négyzet területének különbsége.

Egy négyzet területe az oldalak négyzetével egyenlő.

Ha az átló ismert, akkor akkor az oldalt úgy kapod, hogy az átlót elosztod √2-vel, esetünkben:

a = a'/√2

c = c'/√2

Ezekkel a négyzetek területe

a² = a'²/2

és

c² = c'²/2

vagyis az átlók négyzetének a fele.

Tehát a két négyzet - az alap- és fedőlap - területének különbsége

P' = (a'² - c'²)/2

ahol P' a palást vetületének területét jelenti.

Már csak az a kérdés, mi az összefüggés a palást valódi és vetületi területe közt?

Itt egy oldal a kérdés részletes megválaszolására:

[link]

Esetünkben ez annyit jelent, hogy

P' = P*cosß

amiből

P = P'/cosß

A P' fenti értékét behelyettesítve kapjuk, hogy

P = (a'² - c'²)/(2*cosß)

Még annyi megjegyzés, hogy vetület terület módszer kúpnál (csonka kúpnál) is működik.

Nem tudom, érthető és kielégítő-e a válasz, ha nem, várom a kérdéseidet.

DeeDee

**********