Egy téglatest lapjainak területei úgy aránylanak egymáshoz, mit 16:21:28. A testátló 29 cm. Mekkorák az élek?

Írd fel az összes egyenletet:

(a * b) / (a * c) = 16/21

(a * b) / (b * c) = 16/28

(a * c) / (b * c) = 21/28

a^2 + b^2 + c^2 = 29^2

Lehet egyszerűsíteni:

b/c = 16/21

a/c = 16/28

a/b = 21/28

a^2 + b^2 + c^2 = 841

Ez egy 3 ismeretlenes egyenletrendszer.

Az első 3 egyenlet segítségével át kell alakítani a 4. egyenletet:

- kifejezed az egyikből az egyik ismeretlent és behelyettesíted a 4. egyenletbe

- ezt addig kell ismételni, amíg a 4. egyenletben már csak 1 darab ismeretlen marad

Ezután meg kell oldani azt az egyenletet és a kifejezésekbe visszahelyettesítve meghatározni a másik 2 ismeretlen értékét is.

Végül ellenőrzöd, hogy:

- a 3 oldallap területeinek aránya a feladatban megadottakkal egyenlő-e

- a testátló 29 cm-e

--------

Mj.: a testátlóhoz itt van segítség: [link] (ha négyzetre emeled az egyenlet mindkét oldalát, az általam írt képletet kapod)

Legyen

a, b, c - a téglatest oldalai úgy, hogy a>b>c

F(ab):F(ac):F(bc) = p:q:r az oldallapterületek aránya

p = 28

q = 21

r = 16

d = 29 - a téglatest testátlója

a, b, c = ?

Az oldallaparányok

a*b : a*c : b*c = p:q:r

Az első két arányból

a*b/a*c = p/q

egyszerűsítve

b/c = p/q

Az első és utolsó arányból

a*b/b*c = p/r

egyszerűsítve

a/c = p/r

A két arányból az oldalakat kifejezve

a = c*p/r

és

b = c*p/q

A testátló képletébe behelyettesítve

a² + b² + c² = d²

c²p²/r² + c²p²/q² + c² = d²

Kiemelve

c²(p²/r² + p²/q² + 1) = d²

A zárójelben közös nevezőre hozva

c²[(p²q² + p²r² + q²r²)/q²r²] = d²

A kerek zárójelből kiemelve p²q²r²-et és egyszerűsítve q²r²-tel lesz

c²p²(1/p² + 1/q² + 1/r²) = d²

Mindkét oldalt osztva a zárójeles tényezővel

c²p² = d²/(1/p² + 1/q² + 1/r²)

Mindkét oldalból gyököt vonva

c*p = d/√(1/p² + 1/q² + 1/r²)

A jobb oldalt egy K konstansnak elnevezve lesz

c*p = K

amiből

c = K/p

=======

Ezt az oldalak kifejezésébe behelyettesítve

a = c*p/r

a = (K/p)(p/r)

egyszerűsítve

a = K/r

=======

Ugyanez a 'b' oldalra

b = c*p/q

b = (K/p)(p/q)

egyszerűsítve

b = K/q

=======

Összefoglalva a válasz:

Az adott oldallaparányú téglatest oldalai:

a = K/r

b = K/q

c = K/p

értékűek, ahol

K = d/√(1/p² + 1/q² + 1/r²)

Remélem, nem túl hosszú és érthető a megoldásom.

DeeDee

**********

sokkal egyszerűbb megoldás:

legyen az élek hossza az arányok miatt 16x, 21x, és 28x

ismert a következő összefüggés, térbeli Pitagorasz tételnek is szokás nevezni: a^2+b^2+c^2=d^2, ahol d a testátló

azaz (16x)^2+(21x)^2+(28x)^2=29^2

innen meg hadd ne folytassam...

Lehet, hogy egyszerű a megoldásod, csak az nem ezé a feladaté!

Ugyanis nem az ÉLEK, hanem a TERÜLETEK aránya adott!

A megoldást tovább gondolva kiderült, hogy a K konstans a hármas arány tagjainak legkisebb közös többszöröse, vagyis

K = [p, q, r]

DeeDee

*******