[Halmazok] Hogyan kell felsorolni egy halmaznak az összes részhalmazát?

Ezek halmazokon értelmezett műveletek.

Definíció szerint az A halmaz részhalmaza a B-nek, hogyha A minden eleme egyben B-nek is eleme. Tehát, ha adott egy halmaz, akkor azoknak az elemeiből kell felírni a létező összes halmazt. Például, ha a halmazunk: {1;2;3}, akkor ennek a részhalmazai:

0 elemű részhalmaz: {} (definíció szerint az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza)

1 elemű részhalmaz: {1} , {2} , {3}

2 elemű részhalmaz: {1;2} , {1;3} , {2;3}

3 elemű részhalmaz: {1;2;3}

Ezzel felsoroltuk az a halmaz összes részhalmazát.

Úgy tudod ellenőrizni, hogy mind megvan-e, hogy tudod, hogy egy n elemű halmaznak összesen 2^n darab részhalmaza van (például egy 10-elemű halmaznak 2^10=1024 darab van), illetve azt is érdemes tudni, hogy k<=n elemű részhalmazból pontosan (n alatt a k) darab van (ha ezt még nem tanultátok, majd úgyis fogjátok).

Pl. egy négy elemű halmaz esetén: H = {a,b,c,d}

2^4 = 16 részhalmaz lesz.

Sorold fel a számokat 0-tól 15-ig (16 db)

kettes számrendszerben:

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

Ezek megfeleltethetők a részhalmazoknak.

Ha az első számjegy 0, akkor "a" nincs benne a részhalmazban,

ha az első számjegy 1, akkor "a" benne van;

Ha a második számjegy 0, akkor "b" nincs benne a részhalmazban,

ha a második számjegy 1, akkor "b" benne van;

stb.

Pl.

1011 ---> {a,c,d}

0010 ---> {c}

1001 ---> {a,d}

0110 ---> {b,c}

0000 ---> {} - az üres halmaz

1111 ---> {a,b,c,d} - az alaphalmaz

stb.