Bizonyítsuk be, hogy a 17 többszörösei között van olyan, amelyik csak 1-es számjegyekből áll. (? )

1x10^3 = ez azt fogja jelenti hogy "egyszer tiz a harmadikon"

tehat, ha csak egyesbol all az azt jelenti hogy felirhato olyan alakban, hogy:

... 1x10^6 + 1x10^5 + 1x10^4 + 1x10^3 + 1x10^2 + 1x10^1

szerintem ebbol kell kiindulni, de lehet tevedek

1111111111111111-re igaz

Ez egzakt bizonyítás, hiszen ha megmutatjuk, hogy van legalább 1 ilyen szám, akkor már bebizonyítottuk az állítást.

2. vagyok

Elnézést, úgy látszik van itt valami autokorrekt.

Tehát a szám: 1111111111111111 (16 db 1-es)

Hihetetlen...

1.111.111.111.111.111

Így már remélem nem korrektúrázza.

De mindegy is, a lényeg, hogy arra a számra igaz, ami 16 db 1-es számjegyből áll. (Meg arra is, ami 32 db 1-esből áll stb.)

Indirekt módon bizonyítanám be, mivel a feladat nem kéri, hogy mondjuk is meg, melyik is az a szám pontosan.

1.

Tegyük fel az ellenkezőjét az állításnak: tegyük fel, hogy az összes olyan szám, ami csupa 1-esből áll, nem osztható 17-tel.

Tehát azt állítjuk, hogy az 1, 11, 111, 1111, 11111, 111111 .... stb. számok egyike sem osztható 17-tel.

Akkor a tagok mindegyike 17-tel osztva 1, 2, 3, 4, .... vagy 16-os maradékot adhat. (természetesen nem tudjuk, hogy melyik szám konkrétan milyen maradékot ad 17-tel osztva, mert nem vizsgáljuk, csak azt, hogy mindegyik 1 - 16 közötti lehet)

2.

Viszont ami biztos: mivel csak 16 lehetséges maradék van, ezért már az első 17 tag közül lesz két olyan szám, ami azonos maradékot fog adni 17-tel osztva.

3.

Ennek a két számnak a különbsége biztosan osztható lesz 17-tel. (mert ha pl. mindegyik szám 5-öt maradékul 17-tel osztva, tehát 17k + 5 alakúak a számok, akkor a különbségük osztható lesz 17-tel)

4.

Ha két ilyen csupa 1-esekből álló számot kivonunk egymásból, akkor az eredmény valahogy így fog kinézni:

111...1110..000 tehát valahány darab 1-es után valahány darab nullás jön és ez a különbség tehát osztható 17-tel.

5.

Ez a szám felírható úgy is, hogy

111...111 * 10^N, ahol N valami egész szám.

és erről tudjuk, hogy osztható 17-tel.

6.

Mivel a 10^N - ben csak 2-es és 5-ös prímtényezők vannak, ez a tényező biztosan nem osztható 17-tel.

Ez csak úgy lehetséges, ha az első tényező, a 111...111 (tehát a valahány darab 1es ) lesz osztható 17-tel, ezzel bizonyítottuk az állítást.