(Lineáris algebra) Hogyan határozható meg az alábbi lineáris transzformáció mátrixa ebben a bázisban?

Ha jól értem, akkor a bázisvektorok e1=(2,-1)^T és e2=(-1,0)^T, oszlopvektorok.

Ha ezeket berajzoljuk egy derékszögű koordinátarendszerbe, akkor a képek is berajzolható, és leolvasható hogy:

φ(e1)=(1,2)^T és φ(e2)=(0,-1)^T

tehát a transzformáció mátrixa:

A=(e1,e2)=[1 0; 2 -1].

Vagy nem erre gondoltál?

Az én értelmezésem szerint:

[link]

Két út van. Vagy felírod a mátrixot a kanonikus bázisban, és azt transzformálod át az új bázisba, vagy alkalmazod a lineáris transzformáció definícióját, vagyis azt, hogy a mátrixa nem más, mint a bázisvektorokhoz rendelt képvektorok koordinátái az adott bázisban.

Az első esetet eggyel felettem nagyjából leírták, bár annyiban hibás, hogy nem T = BF(B^-1) a megoldás, hanem (B^-1)FB.

A másodikban úgy lehet elindulni, hogy pl. a (2,-1) elforgatottja lesz az (1,2), a (-1,0) elforgatottja pedig a (0,-1). Most már csak ezeket kell kifejezni az eredeti vektorokkal, vagyis meg kell oldani az alábbi egyenleteket:

(1,2)^T = A*(2,-1)^T illetve (0,-1)^T = A*(-1,0)^T

Itt T a transzponálást jelenti, vagyis oszlopvektorokról van szó (ilyen sorrendben összeszorozva a mátrixszal). A két egyenletet egybegyúrva:

[ a11 a12 ] [ 2 -1 ] [ 1 0 ]

| | * | | = | |

[ a21 a22 ] [ -1 0 ] [ 2 1 ]

Ezt kéne megoldani, és akkor elvileg ugyanaz jön ki, mint a másik módszerrel.