Egyenletmegoldás egész számok halmazán?

Például: m=5, n=11.

Sajnos módszert nem találtam, ez csak úgy véletlenül jött.

Triviális megoldás még volna: N=47211 M=1

Kérdés, hogy nem hagytál-e ki valamit a feltételek közül?

Ha az „egész” számok negatívak is lehetnek, akkor törtek keletkeznek.

Ha M és N csak prímszámok lehetnének, akkor elég egyszerű volna, bár úgy is volna mit számolgatni.

Az is kérdés, hogy honnan való a feladat?

Ha egy versenyen szerepelt, akkor kell lennie valamilyen - kevés numerikus számolást igénylő - ötletes megoldásnak. Viszont egy gyakorlatban felmerülő kérdésnél gyakran csak számítógépes keresések és közelítő számítások vezetnek célra.

------------------------

Egy lehetőség volna az ismeretleneket valamilyen szám szerinti maradékaik szerint vizsgálni,

ezáltal bizonyos esetek kizárásával ritkítani a lehetőségeket.

Csak egy kicsit próbálkoztam, de a párosság vizsgálatával nem derült ki semmi, viszont

a 3-as maradékok szerinti kilenc variációból csak 3 lehetőség jöhet szóba.

------------------------

Másik lehetséges módszer az egyenlőtlenségek alkalmazása, melyekkel

az ismeretlenekre alsó és felső korlátokat kapunk, illetve

az ismeretlenek egymáshoz viszonyított nagyságára nyerünk összefüggéseket.

Ezek segítségével lényegesen korlátozható a szóba jöhető (M,N) párok száma.

Nagyon kellemetlen, hogy egyszer az egyik ismeretlent kell hatványozni a másikra, aztán meg fordítva. Ezen tudunk segíteni e következő egyenlőtlenség alkalmazásával:

N>M≥3 → M^N > N^M

Egyenlet helyett egyenlőtlenséget kapunk ugyan, de a tagokat jobban össze tudjuk vonnni.

Egy kis próbálozással ilyenek jönnek ki (a 3≤M,N feltétel mellett):

N > M

M > lg(47211/2)/lg(N)

2M-2 ≤ N ≤ M+11

Az utóbbiból M≤13 és N≤24 is következik.

Bonyolultabb képletekkel ezeknél élesebb becslések is kaphatók.