Mely x; y pozitív egész számok a megoldásai a következő egyenletnek (lent)?

A végződést kell megfigyelni:

1!=1

1!+2!=5

1!+2!+3!=11

1!+2!+3!+4!=33

5! után már mindegyik 0-ra végződik, mert 5-ös és 2-es is van a tényezők között

ezért az összeg is 3-ra végződik

így azok már nem lehetnek négyzetszámok

tehát csak x=1, y=1 a megoldás

Nézzünk meg néhányat:

1! = 1 = 1²

+2! = 3

+3! = 9 = 3²

+4! = 33

+5! = 153

+6! = 873

+7! = 5913

Tehát eddig csak kettő volt, és hátha nem véletlen, hogy a 4-estől kezdve az utolsó számjegy 3? Nem véletlen, hisz 5! fölött 5·2 szerepel mindegyikben, tehát 0-ra végződik, amiket hozzáadunk.

Tetszőleges szám négyzete pedig csak erre végződhet: 0, 1, 4, 9, 6, 5. Ezt könnyű belátni.

Megjegyzés: Sajnos nem én találtam ki a bizonyítást, de jópofa.