Ennek az egyenletnek hány megoldása van?

A legelején kellett volna egy kikötés:

sin(x) ≠ 0 (→ x ≠ k·180° k∈ℝ)

Véletlenül nem lesz közös része a majd kijövő megoldással, de ez az elején még nem látszik és

egy dolgozatban mindenképpen rosszpontot jelent a kikötés hiánya.

A megoldás

cos(x)=0 → x = 90°+ k·180°

sin(x)=1 → x = 90°+ k·360°

(Mindkettőnél: k∈ℝ)

a két megoldáshalmaznak nem a metszete („és”), hanem uniója („vagy”) kell.

Ennél a példánál az a leegyszerűsítő, de zavaró körülmény, hogy az utóbbi halmaz része az elsőnek.

Tehát a végerednény az első megoldáshalmaz:

x = 90°+ k·180° (k∈ℝ)

A kikötés miatt nem kell elhagyni semmit

A

cos(x)·(sin(x)-1) = 0

egyenlet megoldásában lényegtelen, hogy a baloldalon csak egyik, vagy mindkét tényező 0.

"De nevezetes szög, így nem kell a párját keresni? Valami ilyesmit mintha mondott volna a tanár órán... "

Nem tudom, mit értettél félre. Ennek kell a "párja" is:

[link]

Nem, a koszinusznál pont az van, hogy a 0-t pí szerint veszi fel, ezért az lesz a megoldása, hogy x=pí/2+k*pí, ahol k eleme a valós számok halmazának. Ha általánosan szeretnéd megoldani, akkor ezt kapnád:

x(1)=pí/2+k*2pí, ahol 2 tetszőleges egész

x(2)=3pí/2+k*2pí, ahol k tetszőleges egész

Ha ezeket ábrázolnád egységkörben, akkor ezek 1 egyenesre esnének, amik átmennek a kör középpontján (vagyis a forgásponton), ezért 180°=pí-nként kapsz megoldást, ezért a fenti megoldások összeolvasztását így tudod felírni: x=pí/2+k*pí, ahol k tetszőleges egész.

A másik résznek x=pí/2+k*2pí lesz a megoldása, amit már az előző tartalmaz, tehát érdemben több megoldást nem kaptunk.

Tehát a megoldása az egyenletnek: x=pí/2+k*pí, ahol k tetszőleges egész.

Az előző hsz-omban mindegyik

k∈ℝ helyett

k∈ℤ kell