S. O. S.! 2 feladatot nem tudok (? )

Az elsőt a függvények tulajdonságaiból is meg lehet oldani; tudjuk, hogy a sin(x) és a cos(x) függvény értékkészlete a [-1;1] intervallum, ebből nem nehéz kitalálni, hogy az 1/cos(x) 1-nél nagyobb és -1-nél kisebb számokat vesz, emiatt az egyenletnek csak akkor lehet megoldása, hogyha sin(x)=cos(x)=1 vagy sin(x)=cos(x)=-1. Értelemszerűen egyik sem fog megvalósulni, tehát az egyenletnek nincs megoldása.

Algebrailag: szorozzunk cos(x)-szel, majd 2-vel:

2*sin(x)*cos(x)=2, a bal oldalon az addíciós képletek alapján sin(2x) van, így

sin(2x)=2, ennek meg ugyebár nincs megoldása, mivel a sin(2x) értékkészlete a [-1;1] intervallum.

A másodiknál is addíciós képletre lesz szükség; cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x), így

cos^2(x)-sin^2(x)=2-5*cos(x)

Tudjuk, hogy sin^2(x)+cos^2(x)=1, emiatt sin^2(x)=1-cos^2(x), tehát

cos^2(x)-1+cos^2(x)=2-5*cos(x), átrendezzük az egyenletet:

2*cos^2(x)+5*cos(x)-3=0

A jobb átláthatóság kedvéért legyen cos(x)=z:

2*z^2+5*z-3=0

Ez egy másodfokú egyenlet, amit a megoldóképletével megoldjuk;

z1;2=(-5+-gyök(49))/4

z1=1/2

z2=-3

Nekünk x-re kell megoldani az egyenletet, ezért z helyére visszaírjuk cos(x)-et:

cos(x)=1/2, ennek a megoldása x=+-pí/3+k*2pí, k tetszőleges egész

cos(x)=-3, ennek nincs megoldása a fent tárgyaltak miatt.