Mekkora szöget zárnak be a téglalap átlói, ha a téglalap oldalai 7 és 10 cm hosszúak?

Mindig a kisebb szöget kell az alatt érteni, hogy mekkora szöget zárnak be.

Az egyik átlót behúzva kapsz egy derékszögű háromszöget, Pitagorasz-tétellel kiszámíthatod az átló hosszát. Majd ha behúzod a másik átlót, akkor láthatod, hogy épp elfelezik egymást, így veheted a téglalap rövidebb oldalával bezárt háromszöget, amire felírva a koszinusz-tételt meg is kapod a keresett szöget.

Ha az a kérdés, hogy mekkora szöget zárnak be, akkor mindig a konvex szög a kérdés, tehát ami legalább 0°, legfeljebb 180°

A válasz 2*arctg(7/10)°=~69,984° a megoldás.

Ez az egyszerű feladat is megérdemel egy kis figyelmet. :-)

Legyen

a, b - a téglalap oldalai

α - az oldalak által bezárt szög

δ - az átlók által bezárt szög

1. módszer

A legegyszerűbb megoldás, amit a második válaszoló írt le.

Az általad α-val jelölt szög az átlók által bezárt szög fele (δ/2), ezért

δ = 2*arctg(b/a)

De van lehetőség a teljes δ szög azonnali meghatározására.

2. módszer

Az első módszerből kiindulva

tg(δ/2) = b/a

A félszögek azonosságai szerint

tg(δ/2) = √[(1 - cosδ)/(1 + cosδ)]

ezért

√[(1 - cosδ)/(1 + cosδ)] = b/a

Mindkét oldalt négyzetre emelve

b²/a² = (1 - cosδ)/(1 + cosδ)

A törteket eltüntetve

b²(1 + cosδ) = a²(1 - cosδ)

ebből cosδ-t kifejezve

cosδ = (|a² - b²|)/(a² + b²)

***************************

3. módszer

Van egy kevésbé ismert - de nagyon hasznos - összefüggés, ami egy paralelogramma oldalai által bezárt szög és az átlói által bezárt szög között teremt kapcsolatot. Eszerint

sinα/tgδ = (|a² - b²|)/(2ab)

Mivel téglalap esetén α = 90° így sin90° = 1, ezért

1/tgδ = (|a² - b²|)/(2ab)

ebből

tgδ = (2ab)/(|a² - b²|)

**********************

Négyzet esetén

a = b

így

1/tgδ = 0

ami azt jelenti, hogy

δ = 90°

a tapasztalattal egyezően. :-)

A teljesség kedvéért egy megjegyzés a végére

Ha a paralelogramma átlói (e, f) adottak, akkor a 3. módszer képlete a következő lesz

sinδ/tgα = (|e² - f²|)/(2ef)

DeeDee

**********