Ezt hogyan kellene megoldani? 2 órája ülök felette, és semmi ötletem, ami volt, az meg nem jó.

Egy kis segítség az induláshoz:

[link]

Felteszem, hogy most csak húrtrapézokkal foglalkozunk.

Az elsőt csak le kell rajzolni, nem nagy varázslat; 48 háromszögből áll. Érdemes ennél a lerajzoltnál maradni; a legalsó sorában 15 háromszög van, fölötte 13, afölött 11, végül a legfelső sorban 9 látható. Észrevehető, hogy ezek számtani sorozatot alkotnak, ahol a differencia d=2. Nézzük meg, hogy a fenti betűkből mit tudunk kihámozni;

-h: a legalsó sorban a trapéz alsó oldalához 8 háromszög csatlakozik, ezek között összesen 7 (8-1) háromszög látható, összesen tehát 7+8=15. Ha az alap hosszát h-val jelöljük, akkor a trapéz aljához h darab háromszög csatlakozik, azok között h-1 darab háromszög található, tehát az első sorban h+h-1=2h-1 darab háromszög van, ez lesz a számtani sorozat első tagja.

-s: látható, hogy a 4 egység hosszú szárak 4 sort határoznak meg, tehát ha s hosszú a szár, akkor a sorozatnak s tagja lesz. Viszont azt is tudnia kell ennek, hogy legfeljebb h-1 lehet, mert ha s=h, akkor egy szabályos háromszöget kapunk, ami nem trapéz, s>h pedig fizikai képtelenség.

-r: a h-nál h között h-1 háromszög volt, az r-nél az r darab háromszög r+1 darab háromszög között van, tehát a trapéz tetején 2r+1 háromszög található.

A betűk között összefüggés írható fel, amit a rajz alapján nem nehéz észrevenni: ott 8-4=4, általánosan h-s=r, értelemszerűen ez többféleképpen is felírható, én most így írtam fel.

A fentiek miatt a trapéz két adata egyértelműen meghatározza, hogy a trapézban hány háromszög lesz, és mivel láttuk, hogy számtani sorozatot alkotnak, ezért felírhatjuk annak az összegképletét, mondjuk az (a[1]+a[n])*n/2 képletet, itt a[1]=2h-1, a[n]=2r+1, n=s, így (2h-1+2r+1)*s/2=(2h+2r)*s/2=(h+r)*s, ha ráereszted a képletet a példára, láthatód, hogy kijön. Hogy egy szebb képletet kapjunk, írjuk át a fenti h-s=r képletet h-r=s -re, ekkor az összegképletbe beírva s helyére a kapottat: (h+r)*(h-r)=h*h-r*r, ebből azt is láthatjuk, hogy elég csak a két alap hosszát ismerni.

Nem nehéz rájönni, hogy az 1 kivételével bármennyi páratlan számú háromszöget tartalmazhat a trapéz; ehhez legegyszerűbben úgy jutunk, hogy s=1, ekkor a trapézban 2h-1 háromszög van, ez pedig tetszőleges h>=2 egészre páratlant ad (azért nem lehet 1, mert akkor háromszöget kapunk). A páros egy kicsit nehezebb feladat, de nem megoldhatatlan; tegyük fel, hogy 2k darab háromszög van a trapézban, ekkor

h*h-r*r=2k, erre h=gyök(2k+r*r). Mivel h biztosan egész, ezért a gyökös tagnak is egésznek kell lennie. Kérdés, hogy mikor lesz egy négyzetszám és egy páros szám összege szintén négyzetszám? Ehhez érdemes tudni a következőt:

0=0

1=1

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

1+3+5+7+9=25

.

.

.

és a sor még folytatható. Ebből arra következtethetünk, hogy csak azok a páros számok jók, amelyek felírhatók egymást követő páratlan számok összegeként, azok pedig jellemzően azok a számok, amelyeknek fele páros, mivel ha a felénél eggyel kisebb számhoz hozzáadjuk az annál eggyel nagyobbat, akkor két egymást követő páratlan számot adtunk össze, ami jó nekünk. Ha pedig egy páros szám fele páros, akkor a szám osztható 4-gyel, tehát a 4-gyel osztható számosságú háromszögeket tartalmazhatja trapéz, de ez alól kivétel a 4, mivel az szabályos háromszögben jelenhet csak meg. Ezeknek az eléréséhez elég s=2.

Ha a buliba bevesszük a paralelogrammákat is, akkor gondold meg, hogy mi lehet.

Remélem, hogy írásom hasznodra lesz. Ha valami nem érthető, kérdezz bátran!

A segítő munkalapot feltöltöttem ide:

[link]

Szerintem érdemes az (r,h) párból kiindulni.

Egyetlen feltétel van:

0 ≤ r < h

(és persze: r,h∈ℕ)

s = h - r

t = h² - r² (a tartalmazott Δ-ek száma)

t olyan szám, mely előállítható két négyzetszám különbségeként.

2∤t → h= (t+1)/2 és r= (t-1)/2

4|t → h= t/4+1 és r= t/4-1

Általában több megoldás is lehet.

2|t de 4∤t → nincs megoldás,

ugyanis t = h² - r² = (h+r)(h-r)

és az utóbbi két tényező azonos parítású,

ezért t vagy két páratlan, vagy két páros szám szorzata.