Hány egész számokból álló,3x3-as ortogonális mátrix van?

Egy mátrix ortogonális, hogyha bármelyik oldalról skalárisan megszorozva a transzponáltjával eredményül az egységmátrixot kapjuk. Legyen a 3x3-as mátrix

[a b c]

[d e f]

[g h i], ekkor ennek a transzponáltja

[a d g]

[b e h]

[c f i]. Ezt a kettőt összeszorozzuk skalárisan, ekkor egy 3x3-as mátrixot kapunk:

[a*a+b*b+c*c a*d+b*e+c*f a*g+b*h+c*i]

[d*a+e*b+f*c d*d+e*e+f*f d*g+e*h+f*i]

[g*a+h*b+i*c g*d+h*e+i*f g*g+h*h+i*i]

Ennek a mátrixnak kell egyenlőnek lennie a 3x3-as egységmátrixszal, vagyis az

[1 0 0]

[0 1 0]

[0 0 1]-gyel. Ezeket tagonként egyenlővé kell tenni, ebből kapunk egy elsőre nem lineáris egyenletrendszert, de másodikra az lesz; ha a főátló tagjait tekintjük, mondjuk nézzük az első egyenletet, akkor ezt kapjuk:

a*a+b*b+c*c=1. Értelemszerűen, mivel azt akarjuk, hogy a;b;c egész legyen, ez az összeg csak akkor lehet 1, hogyha valamelyik kettő 0, a harmadik értéke 1, tehát ennek 3 megoldása van: (a;b;c)={(0;0;1),(0;1;0),(1;0;0)}. Ugyanez igaz a főátlóban található egyenletekre is. Úgy kapunk egy megoldást, hogy az (a;b;c), a (d;e;f) és a (g;h;i) megoldásaiból, amikből 3-3-3 van, kiválasztunk 1-1-1-et, tehát legfeljebb 3*3*3=27 mátrix lehet. Viszont arra is törekednünk kell, hogy a főátlót kivéve mindenhol máshol 0 legyen, pedig egy d*a+e*b+f*c alakú egyenlet csak akkor lehet 0, lévén, hogy minden betű értéke 0 vagy 1 lehet, hogyha az összeg tagjai mind nullák, tehát a szorzótényezők között kell, hogy legyen legalább 1 darab 0.

Remélem, hogy innen sikerülni fog befejezni. A biztonság kedvéért, amik jók lettek, azokat fordítva is meg kellene szorozni skalárisan az eredetivel, hogy biztosan egységmátrix jön-e úgy is ki.

Mátrixokat nem lehet skalárisan összeszorozni. Ha a rendes szorzással végigcsinálod az első válaszoló gondolatmenetét, akkor ki fog jönni.

Teljesen felesleges két oldalról ellenőrizni.