Egy háromszög szögei:alfa=15, béta=55, gamma=110. Bizonyítsd be, hogy a háromszög oldalai között fenn áll a cˇ2=bˇ2+a*b összefüggés ?

A jelölések értelmezéséhez

[link]

Bizonyítandó

c² = b² + ab

A jobb oldalon kiemelve lesz

c² = b(a + b)

**************

Szinusz tételből

c*sinß = b*sin2ß

c*sinß = 2b*sinß*cosß

Egyszerűsítve

c = 2b*cosß

Koszinusz tétel a c oldalra

c² = a² + b² - 2ab*cos2ß

A jobb oldalon teljes négyzetet kialakítva és kiemelve

c² = a² + b² + (2ab - 2ab) - 2ab*cos2ß

c² = (a + b)² - 2ab(1 + cos2ß)

A zárójelben kibontva majd összevonva

c² = (a + b)² - 2ab(1 + cos²ß - sin²ß)

c² = (a + b)² - 2ab(2cos²ß)

c² = (a + b)² - 4ab*cos²ß

A szinusz tételből kapott eredményt a bal oldalra behelyettesítve

4b²*cos²ß = (a + b)² - 4ab*cos²ß

Átrendezve

4b²*cos²ß + 4ab*cos²ß = (a + b)²

Bal oldalon kiemelve

4b*cos²ß*(a + b) = (a + b)²

Egyszerűsítve (a + b ≠ 0)

4b*cos²ß* = a + b

Mindkét oldalt b-vel szorozva

4b²*cos²ß* = b(a + b)

A bal oldal a szinusz tételből kapott 'c' érték négyzete, így

c² = b(a + b)

=========

Q.E.D.

Az összefüggés minden olyan háromszögre igaz, melynek egyik szöge kétszerese egy másiknak (pl. egyenlő szárú derékszögű háromszög).

DeeDee

**********

Egy másik megoldás:

[link]

Igazad van, Zsiga, ez a nyerő megoldás!

(Remélem, az enyémet elfelejti a kérdező. A sakkvakság tipikus esete :-))

DeeDee

**********