Valószínűségszámítás? Segítség?

Ezt feltételes valószínűségekkel és a Bayes tétellel lehet kiszámolni.

Események jelei:

D1: az első dobozból húztunk

D2: a másodikból húztunk

D3: a harmadikból húztunk

FP: húztunk 1 fehéret és 1 pirosat

Ez a kérdés: Mennyi a valószínűsége, hogy a harmadik dobozból húztunk, ha 1 fehéret és 1 pirosat húztunk ki?

A jelölésekkel ezt így írhatjuk le: P(D3 | FP) = ?

Ezt direktben nem tudjuk kiszámolni, csak a fordítottjait, vagyis nézzük először a húzások feltételes valószínűségei:

P(FP | D1) :

Mondjuk először fehéret húzunk az első dobozból, annak 1/5 a valószínűsége, hisz 5 golyó van benne összesen, amiből 1 fehér. Utána pirosat, annak 2/4, mert már csak 4 golyó maradt benne (egy fehéret már kihúztunk). Vagyis együtt 1/5·2/4 = 1/10 a valószínűsége.

Lehet viszont fordított sorrendben is (először pirosat húzunk, másodjára fehéret), ami hasonlóan számolva 2/5·1/4, ami szintén 1/10. Együtt a két irány pedig:

P(FP | D1) = 1/5

Hasonlóan a többi is:

P(FP | D2) = 2/4·1/3 + 1/4·2/3 = 1/3

P(FP | D3) = 4/12·3/11 + 3/12·4/11 = 2/11

Az FP húzás teljes valószínűsége: (teljes valószínűség tétel)

P(FP) = P(FP | D1)·P(D1) + P(FP | D2)·P(D2) + P(FP | D3)·P(D3)

Annak a valószínűsége, hogy az egyik dobozból húzunk, 1/3, bármelyik dobozról is van szó, tehát:

P(FP) = 1/5 · 1/3 + 1/3 · 1/3 + 2/11 · 1/3 = ... számold ki

Most már rátérhetünk az eredeti kérdésre: P(D3 | FP) = ?

Bayes tétel:

P(D3 | FP) = P(FP | D3)·P(D3) / P(FP)

Ezeket már csak be kell helyettesíteni.