Mekkora a kör részeinek területe, ha a következőket tudjuk?

Egy ábra egyértelművé tette volna a kérdést. Ha a körszelet területe a kérdés, akkor arra találsz képletet a fv. táblában.

Nem kell érteni, egyszerű behelyettesítés, óvodás példa.

Egy megoldás a sok lehetőség közül.

Vegyük sorba a területeket

A1

Az első terület nem probléma, az a félkör területe

A1 = R²π/2

*************

A2

Ha a kör középpontját összekötöd a C ponttal, akkor a területet felosztottad egy körcikkre és egy háromszögre

A körcikk területe

Ehhez a körcikk középponti szöge kell.

Mivel az AC ívhez tartozó kerületei szög ismert (α), ezért a középponti szög ennek a kétszerese (2α), így a körcikk területe

Ac = R²*2α/2

A háromszög területe

Ehhez kell a háromszög magassága (a C pontból az AB átmérőre húzott merőleges szakasz), ami így

m = R*sin2α

ezzel a háromszög területe

Ah = R*m/2

Ah = R²*sin2α/2

Ezek után az A2 terület

A2 = Ac + Ah

A2 = (R²/2)(2α + sin2α)

*****************************

A 2α-t radiánban kell behelyettesíteni.

2α = 2α[°]*π/180 [rad]

A harmadik terület az első kettő különbsége

A3 = A1 - A2

A3 = (R²/2)(π - 2α - sin2α)

*******************************

Ha kérdés van, tedd fel!

Első vagyok, az én megoldásom a következő: A BC szelet képletét kinézed a fv. táblából, mert mondtam h. benne van.

A magassága m=R-(4R^2-h^2)^(1/2) hol h a húr hossza.

A körszelet területe:

T=[iR-h(R-m)]/2. Itt az ivhossz nyílván i=R(pi-2ß).

ß-val a 40°-ot jelölöm.

A húr hosszát pl. a következő módon számítod ki: Felveszünk egy kör közepű descartes-koordinátarendszert.

A kör egyenlete nyílván

x^2+y^2=R^2, az egyenesé pedig

y=(x-R)*tg(ß).

Ebből a B pont koordinátáira egyszerűen adódik hogy:

xB=R*[tg(ß)^2-1]/[tg(ß)^2+1] ill.

yB=-2Rtg(ß)/[tg(ß)^2+1]. Ebből a h-val jelölt húrhossz egyszerűen apitagorasz tételből adódik:

h=2R/gyök(1+tg(ß)^2).

A húr magassága ezáltal:

m=R-Rtg(ß)/gyök(1+tg(ß)^2) alakú.

A területképletbe behelyettesítve pedig:

T=R^2*[(pi/2)-ß-{tg(ß)/(1+tg(ß)^2)}].

Igazolható, hogy tg(ß)/(1+tg(ß)^2)=sin(ß)*cos(ß)=sin(2ß)/2, ebből pedig következik hogy az itt levezetett végképlet azonos az előző válaszoló végeredményével.

Ilyen egyszerű a megoldás, azért van a fv. tábla.

Az # 5/5-ös válaszolónak:

Élvezettel figyelem az ütésváltást, de áruld már el, mitől egyszerűbb a te megoldásod, mint a # 4/5-ösé, aki megadott három egyszerű képletet, amibe csak be kell helyettesíteni a feladat megadott értékeit?

A kérdező helyében biztos nem állnék neki a kacskaringós válaszodat végigszámolni. :-)

De hát ízlések és pofonok... :-)

#6-nak: Nem mondtam én egy szóval sem hogy egyszerűbb. Hiszen alapból mindkét megoldási módszer teljesen logikus, és már önmagában egyszerű mindkettő.

Az igazi nyílván az lenne, ha kettős integrált számolnánk a körszelet fölött. Az minden alakzatra általánosan jó módszer lenne.

Miattam meg mindenki úgy számol ahogy akar. Egyébként még tudnék mondani 4-5 más megoldási módszert is.

Hogy ki melyiket választja, tényleg izlés kérdése.