Kirakható-e egy 6x6x6-os kocka 1x2x4-es téglákból?

Valóban nem lehet, hülyeséget írt az első. A magyarázat egzakt matematikai indoklása elég bonyolult.

Az fog történni, hiába kezded el építeni, mindig lesz 1 olyan él, ami keskeny, és nem tudod kitölteni a megadott méretű téglákkal.

Mondjuk ehhez jó térlátás is kell. Javaslom vágd ki krumpliból vagy jajtból, és próbálkozz az összeépítéssel, utána rájössz, h. mi a probléma.

Megpróbálom vázlatosan leírni, mire jutottam.

Érdemes indirekt úton okoskodni.

Feltételezzük, hogy megoldható a kirakás, melyből valamilyen ellentmondás következik.

Ha létezik a keresett kirakás, akkor a kapott kocka három egymásra merőleges éle, illetve a benne lévő téglák három irányt határoznak meg.

Nevezzük el egy tégla „hosszirányának” a leghosszabb (4 hosszúságú) éleivel párhuzamost irányt.

A kockát valamelyik élére merőlegesen felszeleteljük 6x6x1 -es szeletekre („lapokra”), melyek tartalmazzák a téglák metszeteit

ezek 4x2, 4x1 és 2x1-esek lehetnek. Utóbbiak épp azon téglák metszetei, melyek a szeletelés irányára merőlegesek voltak.

A szeletek („lapok”) 36 kiskockából állnak, a 4x2-es és 4x1-es metszetek összesen 4-gyel osztható darab kiskockát tartalmaznak, ezért a 2x1 -es metszetekben lévő kiskockák száma is ilyen.

Más szóval, a szeletelés irányra merőlegesen álló téglák száma páros.

Ugyanez érvényes, ha a másik, vagy a harmadik irányban szeletelünk. Mindhárom irányban páros lesz az olyan irányú téglák száma, de minden téglának van valamilyen hossziránya (és csak egyféle), tehát a téglák száma páros volna.

Azonban a téglák száma (6·6·6)/(1·2·4) = 216/8 = 27 páratlan. Ellentmondás.

Rakd össze a kockát 27 darab 2x2x2 kiskockából amiket a sakktábla szerűen feketére és fehérre színezel. Mivel 27 páratlan, ezért aztán 13 az egyik szín, 14 a másik színre lesz festve.

Most képzeljük el hogy minden 2x2x2-es kiskocka 8 egységkockából épül, egyszínűek ugye. Nézzünk meg egy 1x2x4-es téglát, milyen színű egységkockák lesznek benne? Fele ilyen, fele olyan. Ezen tessék gondolkodni hogy miért :) Segítség: hány darab 2x2x2-es kockát metszhet egy 1x2x4-es tégla? Nincs olyan sok eset azért.

Hát ha sikerülne kirakni a 6x6x6-os kockát ilyen téglákból akkor a fele ilyen, a fele olyan lenne továbbra is pedig megállapítottuk hogy nem ugyanannyi a fehér és a fekete száma.