Matek feladat (? )

Két vektor skaláris szorzata 0,ha merőlegesek egymásra. Ha a B, A oldalak skaláris szorzata 0,akkor derékszög van a C csúcsnál.

Körülírt kör középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja, valamint a körülirt kör átmegy a csúcsokon. Ebből lesz 3 egyenlet, 3 ismeretlennel.

a. feladat:

Meg kell nézni, hogy a C-ből A-ba és a C-ből B-be mutató vektorok merőlegesek egymásra. Két vektor pontosan akkor merőleges egymásra, ha a skaláris szorzatuk nulla, tehát ki kell számolni a CA és a CB vektorok skaláris szorzatát, és ha ez egyenlő 0-val igazoltuk az állítást. Ehhez persze ismerni kell ezeket a vektorokat. Ha a pontokhoz tartozó helyvektorokat tekintük, akkor CA=OA-OC=(6, 9)-(-2, 1)=(6-(-2), 9-1)=(8, 8), CB=OB-OC=(-5, 4)-(-2, 1)=(-5-(-2), 4-1)=(-3, 3).

CA*CB=8*(-3)+8*3=-24+24=0, tehát valóban merőleges a két vektor.

b. feladat:

Erre két módszer is van, talán ez a könnyebb:

Vesszük egy általános kör egyenletét: (x-u)^2+(y-v)^2=r^2, ahol ugyebár (u, v) a kör középpontja, és r a sugara. Mivel a a háromszög köréírt körének egyenlete kell, amiről tudjuk, hogy áthalad a csúcsokon, tehát x és y helyébe beírva a csúcsok koordinátáit, az alábbi három egyenletet kapjuk:

(6-u)^2+(9-v)^2=r^2

(-5-u)^2+(4-v)^2=r^2

(-2-u)^2+(1-v)^2=r^2

Ezek után meg kell oldali ezt az egyenletrendszert aa három ismeretlenre, u-ra, v-re és r-re.

A másik út, hogy felírjuk valamely két oldal felezőmerőlegesének egyenletét, a két egyenletből kapott egyenletrendszert megoldva megkapjuk a középpont koordinátáit, és ettől a ponttól megnézzük valamelyik csúcs távolságát, hogy megkapjuk a sugarat. Célszerű az a. feladat után a CA és CB oldalak felezőmerőlegeseinek egyenletét felírni, mert már kiszámoltuk a normálvektort mint a kettőhöz, csak a szakaszfelezőket kell még kiszámolni hozzájuk.

Vagy:

[link]