Ha a halmaznak nincs definíciója, akkor az egy axióma?

"Az euklideszi geometriának ma már nem a matematika, hanem a matematika egy ága."

Egészen biztos, hogy ezt akartad írni?

És az két külön dolog, hogy létezik az euklideszi geometriának a valós számok testére épült modellje, mint az, hogy "beágyazzák axiomatikus halmazelméletbe".

De nyilvánvalóan nem fogunk dűlőre jutni, hiszen én egyszerűen "nem értem a definíciókat".

Bár azért annak örülnék, ha elmagyaráznád nekem, hogy az alapfogalom miért nem szakszó.

Tőled idéztem, így hát idézőjelbe tettem. Nyilván nincs bajod velem, hiszen kettőnk kapcsolata csupán néhány sornyi ismeretlen szóváltás.

Egyébként az axiomatikus halmazelmélet alatt, amit ahogy látom nagyon a szíveden viselsz, melyikre gondolsz? A Zermelo–Fraenkel félére a kiválasztási axiómával, vagy anélkül? Vagy esetleg valamelyik alternatív lehetőségre?

De igen, hozz ismeretterjesztés helyett inkább hozz egy 3. magyar Abel-díjat, mert ahogy látom, megint vektorokat akartál beletuszkolni egy polinomfüggvénybe.

"tetszőleges bázisban kifejezve a pontokat és a báziselemeket tekintve a polinomfv változóinak"

helyesen: tetszőleges bázisban kifejezve, a báziselemekhez tartozó együtthatókat (koordinátákat) tekintve a polinomfv változóinak

"Mindkettő tökéletesen tárgyalható az axiomatikus halmazelmélet rendszerében, amit nem mellesleg az elmúlt évszázadban nem kevés munkával alkalmassá tettek arra, hogy a matematika alapjául szolgáljon."

És ha már egyszer szeredet az axiomatikus halmazelméletet hangoztatni, én a helyedben utánanéznék, hogyan kapcsolódik az a matematika többi ágához.

Mert kiindulunk egy axiómarendszerből, alapfogalmakból, és ezek után azt mondjuk, hogy van halmazelméleti modellje, ha van olyan struktúra, amire teljesülnek az axiómák. Lásd például a Peano axiómákat és a természetes számok halmazelméleti konstrukcióját, vagy éppenséggel az Euklideszi geometria Hilbert-féle axiómarendszere illetve a párhuzamossági axiómát módosítva például a hiperbolikus geometria axiómarendszere.

Az axiomatikus halmazelmélet csak egy keret, ami a matematika többi ágának megfogalmazására teremt lehetőséget.

Az még plusz ráadás, hogy ezek a modellek még csak nem is egyértelműek (lásd Löwenheim–Skolem tételkör)