Igazold, hogy 3 az n-ediken tízes számrendszerbeli alakjának az utolsó előtti számjegye mindig páros (amennyiben n nagyobb vagy egyenlő 3)! (? )

Pedig ez egyszerű; ha egy számot egy egyjegyű számmal szorzol, akkor a tizes helyiértéken álló számot úgy kapod meg, hogy a számban a tizes helyiértéken álló számot megszorzod 3-mal és annak veszed a tizes maradékát, és ehhez hozzáadod az egyesek helyén álló szám háromszorosának a tizes részét. Mondok egy példát, azon megérted:

578495248751*3

Írásban úgy tanultatok szorozni, hogy visszafelé számoltok:

3*1=3, leírod a 3-at marad a 0

5*3=15, leírod az 5-öt, marad az 1. Tehát 5+0=5 lesz a második számjegy.

n=3 esetén 3*3*3=27-re igaz. Tegyük fel, hogy n-ig igaz, nézzük, mi a helyzet n+1 esetén, tehát azt mondjuk, hogy 3^n tizes helyiértékén páros szám áll, ekkor páros*3 biztosan páros marad. Akkor vagyunk nyerők, hogyha az egyesek helyén álló számjegyet ha szorozzuk 3-mal, akkor onnan páros marad (0 vagy 2, több nem lehet, mivel 9*3=27), mivel páros+páros=páros. Mivel 3-hatványról van szó, ezért ez sem páros számra nem végződhet (mivel akkor osztható lenne 2-vel, de 3^n nem osztható), sem 5-re (mivel 5-tel sem osztható), tehát a lehetséges végződések: 1;3;7;9

1*3=3, marad a 0, ettől nem fog változni a második számjegy

3*3=9 ettől sem.

7*3=21, ettől 2-vel fog növekedni, ha pedig 8-as állt eredetileg, akkor 0-ra változik, az is páros.

9*3=27, ugyanez a helyzet.

A létező összes lehetőséget végignéztük, tehát biztos, hogy igaz lesz, és mivel n>=3 tetszőleges volt, ezért tetszőleges n-re igaz lesz (kisebb n-re csak azért nem lesz igaz, mert ott nincs utolsó előtti számjegy).