Igazold, hogy tetszőleges m∈R szám esetén az f :R→R, f (x) = x2 − mx + m2 +1 függvényhez tartozó parabola az Ox tengely fölött helyezkedik el?

Másik lehetőség, hogy teljes négyzetté alakítasz:

(x-m/2)^2=x^2-xm+m^2/4, ezért a fenti átírható így:

(x-m/2)^2-m^2/4+m^2+1, összevonás után:

(x-m/2)^2+3m^2+1

Az összeg első tagja biztos, hogy legalább 0 (x=m/2 esetén 0), az összeg második tagja legalább 0 (m=0 esetén 0), az összeg harmadik tagja 1, ez 1, tehát az összeg így néz ki:

legalább0+legalább0+1, ez így pedig legalább 1, tehát biztos, hogy pozitív, így az x-tengelyt nem fogja metszeni.

Ha esetleg tudsz deriválni, akkor úgy is lehet:

f'(x)=2x-m, ha a függvény deriváltja 0, akkor ott szélsőérték lehet (a parabola tulajdonságai miatt viszont tudjuk, hogy biztosan lesz, és az minimum lesz), tehát 2x-m=0, erre x=m/2, ezt írjuk be x helyére a függvényben:

f(m/2) = (m/2)^2 - m*(m/2) + m^2 + 1 = (m^2)/4 - (m^2)/2 +m^2 + 1 =

=m^2/4+1, ez pedig tetszőleges m-re legalább 1, tehát a függvény minimuma legalább 1, így mindig az x-tengely felett lesz.