Számtani sorozatos feladat?

Kivonjuk a bal oldalt:

0=[a(2)-a(1)]+[a(4)-a(3)]+...+[a(2n)-a(2n-1)]+n

A [] zárójeleken belül a különbség értéke pont a differencia (definíció szerint) ez legyen d, ezekből pontosan n darab van, tehát ezek összege n*d, tehát

0=n*d+n |kiemelünk n-et

0=n*(d+1) |mivel n biztos, hogy nem 0, ezért osztunk vele

0=d+1 -> -1=d, tehát a sorozat differenciája -1.

Ha esetleg ezt nem veszed észre, akkor úgy is el lehet járni, mint általában; felírod a tagokat az a(n)=a(1)+(n-1)*d képlet segítségével, összeadod az a(1)-eket (amiből mindkét oldalon pontosan n/2 darab van), a d-ket (ezek számtani sorozatot alkotnak, szóval nem lesz nehéz), rendezed az egyenletet, és ugyanezt fogod kapni.

Harmadik lehetőség, hogy megnézed kisebb n-ekre, például ha n=1, akkor

a(1)=a(2)+1, erre

a(1)=a(1)+d+1 -> d=-1

n=2-re:

a(1)+a(3)=a(2)+a(4)+2

a(1)+a(1)+2d=a(1)+d+a(1)+3d+2

-2=2d -> -1=d, ezután megsejted, hogy az ilyen alakú számtani sorozatok differenciája -1, és teljes indukcióval belátod.