(2n+1) / ( (11- (n+1) ^2) * (11-n^2) ) sorozat monotonitását hogyan lehet megállapítani?

a(n) = (2n+1) / ((11-(n+1)²)·(11-n²))

a(n) > 0, ha n > √11, vagyis n ≥ 4

Be akarjuk látni, hogy a(n+1) < a(n) ezekre az n-ekre, vagyis a(n+1)/a(n) < 1

a(n+1)/a(n) = ((2n+3)(n²-11)) / ((2n+1)((n+2)²-11))

n≥4 esetén a számláló és a nevező is pozitív.

= (2n³ + 3n² - 22n - 33) / (2n³ + 9n² - 10n - 7)

Pozitív számláló és nevező (n≥4) esetén ez akkor kisebb 1-nél, ha

2n³ + 3n² - 22n - 33 < 2n³ + 9n² - 10n - 7

0 < 6n² + 12n + 26

n² + 2n + 13/3 > 0

(n+1)² + 10/3 > 0

ami igaz.

Tehát n≥4 esetén a sorozat szigorúan monoton csökkenő.