Igazolható-e, hogy az (n+1) ^ (n+1) -n^n alakú egész számok n=6k+1 esetén oszthatók 3-al?

Ezt kell tudni hozzá:

(a b) mod m = ((a mod m) ⋅ (b mod m)) mod m

És lebontani a hatványozást n+1 illetve n darab szorzássá, és az n (vagy n+1) maradékát az előző szorzat maradékával szorzod, és számolod a maradékát. Ha ez érthető :)

Az n=6k+1-es esetben az n minden hatványa 1 maradékot ad 3-mal. Az n+1 hatványai pedig 2, 1, 2, 1, 2...-t ami 6k+2 lépés után 1 lesz. Tehát a különbségük osztható lesz 3-mal.

20k+11-re ugyanez, csak ott az n+1 hatványainál a ciklus 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, 1,... és beláthatod hogy ott is 1-re lépsz 20k+12 lépés után.

A többit is ugyanígy. Az utolsónál az n^n-nek nem csupa 1-es lesz a ciklusa hanem valami más, de azzal is menni fog. Meg kell nézni hogy az egyik ciklus 110k+9-edik eleme egyezik-e a másik ciklus 110k+8-adik elemével. Gondolom a ciklusok hossza 2, 5 vagy 10 lesz, különben nem működne minden k-ra.