Melyek azok a p és q ikerprímek, melyekre p^2-pq+q^2 is prímszám?

Alakítsuk teljes négyzetté: (p-q)^2+p*q

Mivel q=p+2, vagyis -2=p-q, ezért (-2)^2+p*q=4+p*q lesz belőle.

p=2-re q=4 nem jó, p=3-re q=5, 4+3*5=19 jó megoldás.

Ezeket leszámítva minden prímszám 1-re, 3-ra vagy 7-re végződik. Ha p 3-ra végződik, akkor q 5-re, így ez is kiesik. Ha p 1-re végződik, akkor a 3-as maradéka 1 vagy 2, így q 3-as maradéka 0 vagy 1, így p 3-as maradéka csak 2 lehet, ekkor q 3-as maradéka 1. 2*1=2, 2+4=6, tehát a szám osztható lesz 3-mal. Ha p 7-re végződik, akkor gyakorlatilag ugyanez a történet.

Tehát p>3 prímre a fenti osztható lesz 3-mal, így nincs több megoldás.

Ha negatív prímek is játszanak, akkor p=-5 és q=-3 megoldás lesz még.