A 4 egy olyan négyzetszám, amelyik ikerprímek között van, azaz mindkét szomszédja prímszám. Melyik a következő ilyen négyzetszám?

Az biztos, hogy páratlan szám négyzete nem lesz megoldás, mivel négyzete is páratlan lesz, ami 2 páros szám között áll, abból az egyik biztosan nem lesz prímszám (csak a 2 páros prím).

Ha a négyzetre emelt szám 2-re végződik, akkor négyzete 4-re fog, így annak az egyik szomszédja 5-re fog végződni, így (hacsak nem az 5 a szomszédja) az nem lesz prímszám, mivel osztható 5-tel. Ha 4-re végződik, akkor négyzete 6-ra fog, ennek is az egyik szomszédja 5-re fog végződni. A 8-cal is ugyanez a helyzet; annak a négyzete 4-re végződik.

Így marad a 0-ra végződő számok négyzete, mivel azoknak a négyzeteinek a szomszédaira nem tudunk általános oszthatósági szabályt mondani. Viszont, azt el tudjuk dönteni, hogy valamelyik szomszédja osztható-e 3-mal!

Ha a négyzetszám 3-as maradéka 1, akkor az alsó, ha 2, akkor a felső szomszédja osztható lesz 3-mal, következésképp azoknak a számoknak a négyzete esélyes, amik oszthatóak 3-mal:

30^2, 60^2, 90^2, ...

Ezzel eléggé leszűkítettem a keresett számok halmazát, de a kérdésre a választ még nem tudom megadni. Szólok, ha meglesz :)

Még egy dolog eszembe jutott a szűkítésre; tudjuk, hogy (n+1)(n-1)=n^2-1, ami azt jelenti, hogy egy szám négyzeténél 1-gyel kisebb szám osztható a számnál 1-gyel nagyobb és 1-gyel kisebb számmal, például 6^2-1 osztható (6-1)-gyel és (6+1)-gyel, és ez persze minden ilyen alakú számra igaz. Ha azt akarjuk, hogy n^2-1 prímszám legyen, ahhoz az kell, hogy az egyik tényező 1 legyen, vagyis

n+1=1, vagyis n=0, ez nem lehet (n pozitív egész),

n-1=1, vagyis n=2, ekkor n^2-1=3, így a négyzetszám n^2=4, ennek a szomszédja n^2+1=5 jó megoldás lesz. Ezen kívül nincs más megoldás, mivel akkor (mint ahogy azt már előbb is írtam) n^2-1 osztható lesz n+1-gyel és n-1-gyel, és csak n=2 esetén lesz az, hogy az egyik értéke 1, a másiké pedig (a) prímszám.