Hogyan kell ezt az összetett abszolútérték függvényt ábrázolni?

Ugyanúgy kell eljárni, mintha egyenletet oldanál meg; meg kell nézni, hogy a különböző tagok az || belül milyen előjelű értékeket vesz fel;

1) x+4>0 -> x>-4, tehát -4-nél nagyobb számokra pozitív

x+4=0 -> x=-4, tehát -4-re 0

x-4<0 -> x<-4, tehát -4-nél kisebb x-re negatív

2) x+1>0 -> x>-1, ekkor pozitív

x+1=0 -> x=-1, ekkor 0

x+1<0 -> x<-1, ekkor negatív

3) x-3>0 -> x>3, +

x-3=0 -> x=3, 0

x-3<0 -> x<3, -

Most össze kell vetni ezeket az egyenlőtlenségeket, és az azok által meghatározott intervallumokon kell vizsgálni az összeg tagjait. Érdemes számegyenest rajzolni, azon jobban látszik, de én most anélkül fogom levezetni.

A lényeg, hogy ahol valamelyik 0, ott lesz mindig a váltáspont, tehát ezek az intervallumok lesznek: (-végtelen;-4], [-4;-1], [-1;3], [3;végtelen)

A (-végtelen;-4] intervallumon mindegyik tag negatív (egy kivétel van, x=-4-re az egyik 0, de arra is igaz a további), így az abszolutérték definíciója szerint ezek értéke az ellentettjük lesz, tehát ezt a függvényt kapjuk:

-(x+4)-2*(-(x+1))+3*(-(x-3))=-x-4+2x+2-3x+9=-2x+7, tehát a függvény képe a (-végtelen; -4] intervallumon a -2x+7 függvény képe lesz.

Következő a [-4;-1] intervallum. Ezen az 1) már pozitív, ezért definíció szerint abszolutértéke önmaga lesz (tehát simán elhagyjuk a ||-jelet), a többire az előző játékszabály vonatkozik:

x+4-2*(-(x+1))+3*(-(x-3))=x+4+2x+2-3x+9=15, tehát a [-4;-1) intervallumon a konstans 15 függvény képe lesz a függvény képe.

Harmadik intervallum: [-1;3], ezen 1) és 2) pozitív, tehát őket békén hagyjuk, 3) még mindig negatív, így nálad marad a mínusz:

x+4-2*(x+1)+3*(-(x-3))=x+4-2x-2-3x+9=-4x+11, ezt kell ábrázolni a [-1;3] intervallumon.

Negyedik, egyben utolsó: [3;végtelen), mindenki pozitív, tehát

x+4-2*(x+1)+3*(x-3)=x+4-2x-2+3x-9=2x-5, ez jut a [3;végtelen) intervallumra.

Ha esetleg tartasz attól, hogy valamelyiket elszámoltad, akkor úgy tudod ellenőrizni magad, hogy ahol határos a két függvényrész, azt beírod x helyére, és azonosat kell kapnod (ez azért van így, mert, bár "törik" a függvény abban a pontban, folytonos marad), például a [-1;3] és [3;végtelen) esetén x=3-ban ugyanazt a függvényértéket kell kapnod;

[-1;3]-ra -4x+11=-4*3+11=-1

[3;végtelen)-re 2x-5=2*3-5=-1, egyenlőség van, tehát jól számoltunk.

Ellenőrzésként használhatjuk a WolframAlphát:

[link]