Hogyan számolható ki a háromszög területe, ha az oldalak vektorkoordinátákkal vannak megadva?

Tegyük fel, hogy a két vektor (a;b) és (c;d), ahol a két vektor nem párhuzamos egymással, ekkor az egyszerűség kedvéért legyen ezek közös pontja a (0;0) pont, ekkor a másik két csúcspontpont koordinátái (a;b) és (c;d) (ezt azért tehetjük meg, mert a koordináta-rendszer minden részén ugyanakkora a háromszög területe). Tehát adott a háromszög három pontja, ennek ki tudjuk számolni mindhárom oldalát, abból pedig a háromszög egy szögét, vagy annak szinuszát koszinusztétellel, abból pedig az oldal*oldal*sin(közbezárt szög)/2 képlettel ki tudjuk számolni a területét.

Másik lehetőség, hogy rajzolunk köré egy téglalapot, aminek oldalai párhuzamosak a tengelyekkel, a háromszög ebből 3 (speciális esetben 2 vagy 1) derékszögű háromszöget vág le, tehát a háromszög területe úgy is megadható, hogy kiszámoljuk a téglalap területét, és kivonjuk a derékszögű háromszögek területét.

Úgy jön ki, hogy ezek nem vektorok, hanem pontok. Ezekre fel kell írni a vektorokat:

AB->(-6;-2), BC->(4;-10), CA->(2;12) (fel lehet írni fordítva is, csak akkor -1-szeresek lesznek a vektorkoordináták, például BA->(6;2). Ezeknek a vektoroknak ki tudjuk számolni a hosszait; ha a vektor koordinátái (j;k), akkor hossza gyök(j^2+k^2), így megvan a 3 oldal, onnan koszinusztétel kijön valamelyik szög.

Másik lehetőség, hogy nem írod fel az összes oldal hosszhát, csak 2-ét, akkor azok hajlásszögére felírható a skaláris szorzat. Ugyanaz fog kijönni, mint a koszinusztétellel, viszont kevesebbet kell számolni, de ha ezt nem tudod, a koszinusztétel is tökéletesen megfelelő.

Innen már minden adott, hogy felírjuk a háromszög területét.