Egy paralelogramma területe 169,71 négyzetcm. Az átlók hossza 16 és 30 cm. Mekkorák a paralelogramma oldalai?

Az átlók felezik egymást, így a paralelogrammát 4 olyan háromszögre bontják, melyeknek két-két oldala 8 és 15 cm hosszú. Tegyük fel, hogy 2 háromszögben ezek hajlásszöge Ł, ekkor a másik kettőben 180°-Ł lesz a hajlásszög, ezek területe a szinuszos területképlet szerint 8*15*sin(Ł)/2=60*sin(Ł) és 8*15*sin(180°-Ł)/2=60*sin(180°-Ł), tehát a 4 háromszög területe 2*60*sin(Ł)+2*60*sin(180°-Ł) cm^2, de azt is tudjuk, hogy sin(Ł)=sin(180°-Ł), tehát a 4 háromszög területe 4*60*sin(Ł)=240*sin(Ł) cm^2, ez megegyezik a paralelogramma területével:

240*sin(Ł)=169,71, erre sin(Ł)=0,707125, amit vissza lehet keresni, ekkor megkapod az átlók két szögét.

Így lesz két háromszöged, melynek ismered két oldalát és az azok által bezárt szögét, ezekre a háromszögekre fel tudod írni a koszinusztételt, így meg tudod határozni a paralelogramma oldalait.

Ha nagyon profi vagy, akkor a sin(Ł)=0,707125 egyenletet nem oldod meg Ł-ra, hanem kiszámolod ebből cos(Ł) két értékét (amik egymás ellentettjei lesznek), és azok segítségével írod fel a koszinusztételt. Ha szeretnéd, azt is leírom.