Hogy számoljam ki egy paralelogramma átlóinak hosszát, ha csak az oldalai hosszát ismerem?

Ehhez annyit kell tudni, hogy a paralelogramma oldalainak négyzetösszege egyenlő az átlók négyzetösszegével. (Ez a koszinusz-tétel egyszerű következménye.)

Tehát ha x a rövidebbik átló, akkor

2*(16+49) = x^2 + (x+2)^2.

Ennek a pozitív gyöke 7, így az átlók hossza 7 és 9.

Ja, hogy nem csak az oldalak hossza van megadva...

Legyen a rövidebbik átló hossza x, ekkor értelemszerűen a hosszabbik átló hossza x+2 lesz. Legyen a paralelogramma hegyesszöge Ł, tompaszöge így 180°-Ł lesz.

Az átlók (külön-külön) két-két háromszögre bontják a paralelogrammát, ezért a (különböző) háromszögekre felírható koszinusztétel:

x^2=4^2+7^2-2*4*7*cos(Ł)

(x+2)^2=4^2+7^2-2*4*7*cos(180°-Ł)

Mivel ezeknek egyszerre kell teljesülniük, ezért egyenletrendszerbe foglaljuk őket, ezzel egy kétismeretlenes egyenletrendszert kapunk (amit aztán vagy meg tudunk oldani, vagy nem; ha nem, akkor másik irányt kell keresni). Szerencsére ezt meg tudjuk oldani, azonban fel kell használnunk egy azonosságot; tetszőleges Ł szögre cos(Ł)=-cos(180°-Ł), ez úgy jön ki, hogy ha az Ł szöggel elforgatott vektort tükrözzük az y-tengelyre, akkor a tükörképvektor 1. koordinátája az ellentettjére változik, így ha kap egy mínuszt, akkor értéke ugyanannyi lesz, mint az eredetinek. Ennek tudatában az első egyenletben cos(Ł)-t lecseréljük erre, ekkor ezt kapjuk:

x^2=4^2+7^2+2*4*7*cos(180°-Ł)

(x+2)^2=4^2+7^2-2*4*7*cos(180°-Ł)

Ahogy a lineáris egyenletrendszereknél összeadtuk/kivontuk egymásból az egyenleteket, úgy itt ugyanez működni fog; ha összeadjuk a két egyenletet, akkor az a csúnya koszinuszos tag szépen kiesik, így egy másodfokú egyismeretlenes egyenlet marad hátra:

x^2+(x+2)^2=4^2+7^2+4^2+7^2

x^2+x^2+4x+4=16+49+16+49

2x^2+4x-126=0

x^2+2x-63=0, ezt akár megoldóképlettel is meg lehet oldani, de egyszerűek a számok, így lehet teljes négyzetes alakkal is dolgozni;

(x+1)^2-1-63=0

(x+1)^2=64

x+1=8

x=7, tehát a rövidebbik átló hossza 7, a hosszabbik átló hossza 9 cm. A paralelogramma szögei is meghatározhatóak, ha nagyon szeretnéd.