A-√a-2/a-5√a+6=? Ennek mi a levezetése?

Ha bevezetünk másik ismeretlent, például √a=x, amiből következik, hogy a=x², akkor ezt a törtet kapjuk:

x²-x-2

-------

x²-5x+6

Gondolom, ilyet már oldottál meg; fel kell írni a számlálót és a nevezőt szorzatalakban, ehhez meg kell határoznunk a gyökeiket, vagyis az x²-x-2=0 és x²-5x+6=0 egyenleteket kell megoldanunk; az első megoldásai -1 és 2, a másiké 2 és 3, tehát a számláló felírható (x+1)*(x-2) alakban, a nevező (x-2)*(x-3) alakban, innen már látható, hogy (x-2)-vel lehet egyszerűsíteni, így marad (x+1)/(x-3) a törtből. Itt visszaírjuk x helyére √a-t, tehát a végeredmény (√a+1)/(√a-3), ahol a≥0, de a≠9 és a≠4.

Vegyük például az (x+1)*(x-3) példát. Ha kibontjuk a zárójelet a tanult módon, akkor x^2-3x+1x-3-at kapjuk, összevonás után x^2-2x-3-et, tehát a szorzatalakból könnyen tudunk polinomalakot csinálni. A következő kérdés az, hogy a polinomalakból hogyan tudunk szorzatalakot csinálni, erre a válasz az, hogy abból kell kiindulni, hogy akármelyik alakot nézzük, ha x helyére ugyanazt a számot írjuk, akkor ugyanazt az értéket kapjuk (elvégre a két alak egyenlő). A szorzatalakban az a szerencsés, hogy ha valamelyik tényezője 0, akkor a szorzat értéke 0, tehát ha tudjuk a polinomalak gyökeit, akkor át tudjuk írni szorzatalakba is; ha megoldjuk az x^2-2x-3=0 egyenletet, akkor -1-et és 3-at kapunk, így már csak az a kérdés, hogy mit írjunk fel, hogyha x helyére beírjuk a számokat, akkor valamelyik 0 lesz. A válasz az, hogy az x+1 és az x-3-at keressük, tehát szorzatalakja (x+1)*(x-3). Kicsit változik a történet, hogyha a főegyüttható nem 1, például a 3x^2-6x-9 esetén ugyanúgy 1 és -3 lesznek a gyökök, tehát (x-1)*(x+3) alakra jutunk, viszont kibontás után nem az eredetit kapjuk vissza, de ha a 3-as szorzóval korrigáljuk, tehát 3*(x-1)*(x+3) alakra hozzuk, az már jó lesz.

Persze nem mindegyik írható át ilyen alakra, például az x^2+1 sem, mivel nincsenek gyökei.

Általánosságban azt mondhatjuk, hogy ha egy másodfokú függvény főegyütthatója a, gyökei s és t, akkor felírható a*(x-s)*(x-t) alakban.

„Szép” másodfokú kifejezések esetén persze nem muszáj ezt a fajta megoldást követni, megoldható teljes négyzetté alakítással is.

Annak az elméletét írtam le, vagyis hogy miért "kivonni" kell a gyököket.

Ha ezt nem érted, akkor a másik megoldás szerint próbáljunk meg eljárni;

x²-x-2, ebből teljes négzetet csinálunk az (a-b)²=a²-2ab+b² azonosság segítségével; a=x, ez adott, most azt kell megnézni, hogy b helyére mit írjunk, hogy -x lesz kibontás után, erre az a válasz, hogy 0,5-et, mivel akkor -2*x*(-0,5)=-x lesz, tehát amit kerestünk, az az (x-0,5)², viszont ha ezt kibontjuk, akkor x²-x+0,25-öt kapunk, viszont nekünk a végén -2 van, tehát le kell vonnunk 2,25-öt, így lesz (x-0,5)²-2,25 a keresett alak. Innen az a²-b²=(a+b)*(a-b) képlettel tudunk továbbmenni; mivel 2,25=1,5², ezért a képletben a=x-0,5, b=1,5, így kapjuk az (x-0,5+1,5)*(x-0,5-1,5)=(x+1)*(x-2) alakot.

A másikkal ugyanez végigzongorázható.

Van egy ilyen azonosság, hogy:

ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2) = 0

Ha behelyettesíted, akkor:

(x-(-1)(x-2) = (x+1)(x-2)

A másik képletnél ugyanígy.