Hogyan bizonyítjuk, hogy a sorozat logaritmusának határértéke a sorozat határértékének logaritmusa?

Ha balról megkomponálod az exponenciális függvénnyel mindkét oldalt, akkor azt kapod, hogy exp(lim log ai)=exp(log lim ai). A jobb oldal a logaritmus definíciója szerint egyenlő lim ai-vel. Az exponenciális függvény definíció szerint analitikus (sorösszegként van definiálva), tehát folytonos, tehát sorozatfolytonos. Tehát a bal oldal egyenlő lim exp(log ai)-val, ami pedig éppen lim ai.

A valós exponenciális függvény injektív (pl mert szigorú monoton növekvő), tehát ha az ai-k valósak, akkor lim log ai = log lim ai.

A komplex logaritmusra pedig nem igaz az állítás (a komplex exponenciális függvény nem injektív). Előfordulhat, hogy a sorozat kikonvergál a komplex logaritmus egy adott ágából, és így 2ipí különbség lesz a két oldal között.