Matematika házi?

A végtelen hatványt kellene valahogy definiálni. A végtelen nem szám, hanem tulajdonság. Itt maximum határértékként lehetne kezdeni valamit.

lim{n→∞} 1^n

Vegyünk egy f(x) függvényt, ahol x→1^x. Ez a függvény teljesen megegyezik az f(x)=1, vagy ha úgy jobban tetszik x→1 függvénnyel, bármilyen véges x esetén 1-et vesz fel értékként. Ebből következően ha x a végtelenhez tart, f(x) értéke ugyanúgy 1 marad, nem konvergál más értékhez, mert valójában nem függ a függvény értéke x-től.

~ ~ ~

Itt viszont van egy csavar. Vegyünk egy 1-től különböző pozitív számot, mondjuk legyen ez a szám a 2.

Ugye a hatvány azonosságai miatt:

ⁿ√a

Illetve (ⁿ√a)ⁿ = a

Most vegyük ennek a kettőnek a hatványait, ahol tartson n a végtelen felé:

lim{n→∞} ⁿ√2 = 1

Mivel (ⁿ√a)ⁿ = a, ebből jöhetne valami olyan következtetés, hogy 1^∞ = 2. De ugyanilyen alapon lehetne 1^∞=3, vagy akármi is, nem lenne határozott értéke. De ez így ebben a formában nem igaz, a határértékeket nem lehet így megfordítani.

Illetve más probléma is lenne ezzel. Mondjuk vegyünk egy határértéket:

lim{n→∞} ∑{i=1→n} 1/i = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 … = 2

Remek, csak itt az egészet be lehetne szorozni 1-el:

lim{n→∞} ∑{i=1→n} 1*(1/i) = lim{n→∞} 1ⁿ * ∑{i=1→n} 1/i = lim{n→∞} 1ⁿ * 2

~ ~ ~

Ha most lim{n→∞} 1ⁿ értékét nem tekintenénk 1-nek, akkor az összes határérték kiszámolhatatlanná válna.

Sokféle feladatot lehet írni. Az oktatás egyik hibája, hogy általában a legtöbb feladat megoldható, a megoldáshoz minden adat rendelkezésre áll, és csak annyi adat áll rendelkezésre, ami szükséges. Mondjuk egy fizika feladat, hogy számold ki a gyorsulást, ha egy 2 kg tömegű testre 20 N erő hat.

Pedig lehet olyan feladat, hogy számold ki a gyorsulást, ha a testre 20 N erő hat. Paraméteresen megoldható, de konkrétan nem, mert nincs meg hozzá minden adat.

Lehetne olyan feladat is, hogy számold ki a gyorsulást, ha egy 20°C-os, 50 Ω ellenállású 2 kg-os piros kőre 20 N erő hat, 980 hPa nyomáson.

De valamiért kerülik ezeket a trükkös feladatot a tanárok. Illetve nem mindenki. Lehet, hogy pont azért adta fel a feladatot úgy, hogy bizonyítsd be, mert így ha egyik oldalról az jön ki, hogy cáfolva lett, akkor egy másik megközelítést is megnézel, és úgy is cáfolva lesz. Lehet jobban érteni fogod, hogy miért cáfolható az az állítás, ami feladatként bizonyítandó állításként lett feladva. Röviden lehet ennek a feladatnak a megoldás az, hogy nem bizonyítható, sőt cáfolható az állítás.

Kis történet:

Anno volt egy feladat a fizikakönyvben. A kérdés az volt, hogy egy autó meg tud-e állni, ha a gyalogos ilyen távolságról lép le a járdáról, az autósnak ennyi a reakcióideje, ilyen gyorsulással lassul, stb… Ilyenkor mindenki borítékolja az eredményt, hogy meg tud állni. De valami miatt – szerintem nem szándékosan, valamilyen paramétert elírtak – az jött ki eredményként, hogy az autó nem tud megállni, elüti a gyalogost. A tanár is beleesett abba a hibába, hogy rögtön elkezdte újraszámolni a feladatot, pedig ha az jött volna ki, hogy az autó meg tud állni, nem nézte volna át újra. Mert olyan nincs, hogy egy középiskolás feladatgyűjteményben az jön ki, hogy az autó elüti a gyalogost. Miért ne jöhetne ki ez eredményként?