Melyik a legnagyobb hatványa a 14-nek, amellyel 50! osztható?

14^n|50!

50!-t prímtényezőkre lehet bontani.

2^(k1) * 7^(k2) * stb alakra át kell írni.

Logikus, hogy k2>=k1, ezért elég a k2-őt kiszámolni, ahányszor osztható 7-el, annyiszor lesz osztható 14-el is.

k2 kiszámolása:

Minden tagot gondolatban prímtényezőkre bontasz.

A 7-el oszthatóak tartalmaznak 7-est:

7 = 7

14 = 2*7

21 = 3*7

stb.

[50/7] = 7 db 7-el osztható szám van 50-ig.

(szögletes zárójel az egészrészt jelenti)

Viszont a 49-ben 7^2 szerepel, így k2 = 7+1 = 8

Általánosságban:

n! és p prím esetén, a p prím kitevője:

k = [n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+...

Tehát 14^8 | 50!,

de 14^9 már nem osztója az 50!-nak.

Ezt a képletet jegyezd meg:

k = [n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+...

Most n=50, p=7.

k = [50/7] + [50/49] = 7+1

Másképp megközelítve:

Ugye 7-es prímtényező csak a 7-el osztható számokban van:

7,14,...,49

7 = 7*valami --> 1db 7-es van benne.

14 = 7*valami --> 1db 7-es van benne.

21 = 7*valami --> 1db 7-es van benne.

...

42 = 7*valami --> 1db 7-es van benne.

de 49 az nem 7*valami, hanem 7^2*valami --> 2db 7-es van benne.

Ezért amikor a 7 kitevője érdekel minket, akkor

1+1+1+1+1+1+2 -őt kell összeadni. = 6*1+1*2=8

Ez lesz a 7 kitevője az 50!-ban.