Másodfajú szakadás?
Egy függvény másodfajú szakadása esetén a monotonitás biztos, hogy megváltozik?
Dolgozatban az egy feladat egy függvény monotonitás szerinti vizsgálata volt. Két szakadáspontja volt, -1-nél és 1-nél. Kettő között -1-től 0-ig konvex volt, 0-tól 1-ig meg konkáv. Igazság szerint csak idáig vezettem le normálisan a feladatot, utána meg csak rávágtam, hogy -1 előtt konkáv, 1 után meg konvex, mivel másodfajú szakadásai voltak ott a függvénynek. De így utólag az jutott eszembe, hogy ilyen szakadással lehet hogy nem "vált monotonitást" a függvény? Létezik ilyen? (Több olyan pont nem volt, ahol a deriváltja egyenlő lett volna 0-val, szóval -1 előtt és 1 után biztos mindig ugyanolyan-ugyanolyan a monotonitás.)
válasza:Másodfajú szakadási helyen "bármi lehet".
Gondolj az y=1/x függvényre, ami konvexitást vált, de a szakadási hely előtt és után is mon. csökkenő és az y=1/(x^2) függvényre, ami a szakadási helyen monotonitást vált, de előtte és utána is konvex.
Algebrai törtek esetén azon múlik a dolog, hogy a szakadási hely egyszeres vagy kétszeres (még pontosabban páratlan-szoros vagy páros-szoros :) gyöke a nevezőnek.
Értem, köszönöm a választ.
Viszont ezen logika alapján ami volt feladatom nem tűnik igaznak. Vagy csak máshogy kellene értelmeznem a dolgot?
A feladata következő volt: f(x)=1/(1-x^2)
Akkor elvileg ez a páros-szoros kategóriába esik (ugyanúgy mint a 1/x^2), de itt a szakadási pontoknál monotonitást nem vált de konvexitást igen. Szóval úgy viselkedik mint az 1/x.
Vagy számít az is, hogy hány ilyen szakadási pontja van?
______________________________________________________________________________________________________
Amúgy én arra gondoltam eredetileg (csak ezt elfelejtettem leírni), hogy egy olyan másodfajú szakadásnál mikor a függvény "elmegy" mínusz végtelenbe és "visszajön" végtelenből (mint az 1/x-nél) (vagy fordítva), biztos hogy a konvexitása megváltozik? Nincs-e (vagy nem lehet-e kreálni) olyan függvényt, aminél ez nem változik meg?
Konkrétan valami ilyenre gondolok: [link]
válasza:Most látom a válaszodat, bocs.
1/(1-x^2) nevezőjének egyszeres zérushelye az 1 és a -1 is (hiába van benne négyzet).
És ahol plusz végtelenbe "megy" mindkét oldalon, ott nem vált konvexitást.
A példádon is látszik, hogy nem jó a konstrukció, a jobb oldalon nem lesz végtelen a határérték, hanem "belefut" abba az egyenesbe.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!