Hogy kéne ezt integrálni, lépésről lépésre? X^2*4^ (2x) dx

Első körben érdemesebb lenne átírni a hatványt:

4^(2x)=(4^2)^x=16^x

Arra nem nehéz rájönni, hogy deriválásnál a 16^x "nem fog elfogyni", ezért az eredmény integráljában az x^2 deriváltja kellene, hogy megjelenjen, eszerint a képletbeli kifejezéseket így tudjuk helyettesíteni:

f'(x)=16^x, ekkor f(x)=int(f'(x)) dx=int(16^x) dx=16^x/ln(16)

g(x)=x^2, ekkor g'(x)=2x, tehát:

int(16^x * x^2)dx = 16^x/ln(16) * x^2 - int(16^x/ln(16) * 2x)dx

Itt kapunk egy újabb integrált, amit szintén parciálisan tudunk csak integrálni:

f'(x)=16^x/ln(16), ekkor f(x)=16^x/ln^2(16)

g(x)=2x, ekkor g'=2, így

int(16^x/ln(16) * 2x)dx = 16^x/ln^2(16) * 2x - int(16^x/ln^2(16) * 2)dx, és itt már könnyedén tudunk integrálni;

= 16^x/ln^2(16) * 2x - 2*16^x/ln^3(16), és ezt írjuk be a fenti egyenlőségbe int(16^x/ln(16) * 2x)dx helyére, viszont fontos, hogy ZÁRÓJELLEL tegyük ezt meg, mivel az integrál előtt negatív előjel van, tehát:

16^x/ln(16) * x^2 - int(16^x/ln(16) * 2x)dx = 16^x/ln(16) * x^2 - (16^x/ln^2(16) * 2x - 2*16^x/ln^3(16))

WolframAlphával ellenőriztem, szóval biztosan jó:

[link]