A 100N/m rugóállandójú, vízszintes helyzetű rugóhoz kapcsolt anyagi pont 10cm aplitúdójú vízszintes harminokus rezgést végez. Mekkora a tömege, ha 5cm-es kitérésnél a sebessége 5m/s nagyságú?

Ugye amikor a végkitérésnél, A = 10 cm-nél van, akkor áll, így csak rugalmas energiája van neki:

E1 = 1/2*D*A^2.

Amikor az adott x = 5 cm-es kitérésnél v = 5 m/s sebességgel mozog, akkor az energiája

E2 = 1/2*D*x^2 + 1/2*m*v^2

lesz.

Az energia megmaradás miatt ez a kettő egyenlő:

E1 = E2,

1/2*D*A^2 = 1/2*D*x^2 + 1/2*m*v^2,

m*v^2 = D*A^2 – D*x^2,

m = D*(A^2 – x^2)/v^2 = … (Tessék helyettesíteni!)

Akkor másik lehetőség, induljunk ki Newton II. törvényéből:

F = m*a.

m-hez előbb F-et és a-t kell kitalálni ugyanazon a helyen, ezt pedig szerintem ott a legegyszerűbb, ahol mindkettő maximális, azaz a legnagyobb kitérésnél:

Fmax = –D*xmin = D*A (ugye xmin = –A, amikor a másik irányba tér ki),

amax = A*ω^2.

Mostantól ω-ra hajtunk, mert ha az megvan, akkor mindent tudunk helyettesíteni az

m = Fmax/amax

képletbe.

Mérjük az időt onnantól, hogy áthaladt a 0 kitérésű ponton. Nevezzük t-nek az addig eltelt időt, hogy áthalad az x = 5 cm-es kitérésű ponton a v = 5 m/s sebességgel. Ekkor

x = A*sin(ω*t) --> sin(ω*t) = x/A,

és Pitagorasz nyomán

cos(ω*t) = gyök(1 – sin(ω*t)^2) = gyök(1 – x^2/A^2).

A sebességre (emiatt számoltam ki a koszinuszt)

v = A*ω*cos(ω*t) = A*ω*gyök(1 – x^2/A^2) = ω*gyök(A^2 – x^2).

Ebből egy osztással kapjuk, hogy

ω = v/gyök(A^2 – x^2).

Ezzel lényegében készen vagyunk, visszahelyettesítve:

m = Fmax/amax = D*A/(A*ω^2) = D*(A^2 – x^2)/v^2 = … (Tessék helyettesíteni!)

(Megjegyzés: ez valahonnét ismerős.)

Ez esetben bocsánat a szócséplésért, próbáltam olyan dolgokra visszavezetni a dolgokat, amikben biztos voltam, hogy tanultátok. Sajnos nem tudom, mi van a füzetedben. De azért, hogy én is tanuljak valamit:

> „Hogy a m=D/w^2 -< itt a w-t kell kiszámolni akkor. Kitudjuk számolni a sinalfát, a cosinus alfát, és triogonometriából a körfrekvenciát.”

Ha a második válaszom első bekezdésétől eltekintesz, akkor nem pont ugyanezt csináltam?

> „Igen ez az eredmény már jó,”

És miben különbözik az első válasz végeredményétől?

> „de egyszerűbben is meglehetett csinálni.”

Hát… Nekem még mindig az energiamegmaradás tűnik legegyszerűbbnek. (Persze ha még nem tanultátok, akkor máshogy is jó; meg aláírom, hogy ez valamelyest szubjektív.)