Csoportelmélet: Hány 4-ed rendű elem van A7-ben?

Ciklikus jelölésben egy permutáció akkor és csak akkor páros (eleme az alternáló csoportnak), ha páros sok páros hosszú ciklust tartalmaz. Hogy 4-ed rendű legyen, ahhoz pedig az kell, hogy legyen benne 4 hosszú ciklus (ugye a rend a legkisebb közös többszöröse a ciklusok hosszának). A 7 elemű permutációk esetén ez pontosan azokat a permutációkat adja, amik ciklikus jelölésben

(a)(bc)(defg)

alakúak (mert hát két négyes nem lehet, ha a (bc)-t szétszeded vagy (abc)-t csinálsz, akkor páratlan lesz, másrészt pedig ez negyedrendű, mert amíg defg körbe fordul, addig bc cserélgetődik 4-szer, ami jó).

Ilyenből pedig

binom(7,4)*binom(3,2)*6

darab van, mert a {d, e, f, g} halmazt binom(7,4)-féleképpen választhatjuk, {b, c}-t ettől függetlenül binom(3,2)-féleképpen, és a {d, e, f, g}-knek pedig 6 sorrendje ad különböző permutációt (ugye, mert (bc) = (cb), illetve (defg) = (efgd) = (fgde) = (gdef), tehát 1!/1*2!/2*4!/4 = 6 lehetőség van).

Szóval a 2520 elemből 630 lesz negyedrendű.