Miért nem osztható 7-tel páratlan számok esetén?

"

Innen vettem az ötletet:

Igazoljuk, hogy 4|(7^n+10n-5)!

7 mod 4= 3

10 mod 4= 2

-5 mod 4= -1

"

Idáig igaz, amit írsz, így a fenti átírható így:

4|3^n+2n-1

De n helyére nem írhatsz 1-et csak úgy.

Pont az a feladat, hogy minden n-re belásd.

Ahogy írták előttem: Teljes indukcióval vagy maradék vizsgálattal általában kijön.

Az egyszerűség kedvéért maradjunk ennél:

4|3^n+2n-1

Tagonként megnézed, hogy milyen n-ekre milyen maradékot ad;

3^n

n=1 esetén 3, ennek 4-es maradéka 3.

n=2 esetén 9, ennek 4-es maradéka 1.

n=3 esetén 27, ennek 4-es maradéka 3.

És itt meg is állhatunk, mivel a maradék innentől ismétlődni fog; ha n páros (vagyis 2k alakú), akkor 3^n 3-as maradéka 1, ha páratlan (2k+1 alakú), akkor 3.

2n

n=1 esetén 2, 4-es maradéka 2.

n=2 esetén 4, 4-es maradéka 0.

n=3 esetén 6, 4-es maradéka 2.

Itt is megállhatunk.

Szerencsére 2 esetet kell vizsgálnunk;

-ha n páros, akkor a maradékok: 1+0-1=0, ez osztható 4-gyel.

-ha n páratlan, akkor a maradékok: 3+2-1=4, ez is osztható 4-gyel.

Ezzel beláttuk, hogy mindegy, hogy mit írunk n helyére (már ha természetes szám, és itt a 0 is játszik, mivel 1+0-1=0 is osztható 4-gyel). Sok esetben nem ennyire egyszerű a maradékvizsgálat, ezért maradunk a teljes indukciós bizonyításnál.

Ebből:

"Nézzük a kettes alakot:

3^n 7-es osztási maradékai ciklikusak

3-2-6-4-5-1-3-...

4^n maradékai szintén:

4-2-1-4-2-1-4-..."

Tehát lépésekre bontva:

1. Felírom a maradékokat amíg ciklikussá nem válik

2. Mivel ciklikusak, így elég az addig megnézni, amíg nem ismétlődik egyszerre az összes tag.

Most elég megnézni az első 6 tagját a sorozatnak:

n=1-re a maradék 3+4 ok

n=2-re a maradék 2+2 nem ok

n=3-ra a maradék 6+1 ok

...

3. Levonom a következtetést n=1,3,5 esetén osztható lett 7-el, 2,4,6 esetén nem osztható 7-el.

A ciklikusság miatt 7,9,11,... stb-re szintén osztható lesz 7-el.