Olld meg az alábbi egyenletet a természetes számok halmazán: gyök (x) +gyök (y) =gyök (1000)!?

Vonjunk ki gyök(y)-t, majd emeljünk négyzetre:

x = 1000-2*gyök(1000y)+y^2

Nyilván az 1000 és az y^2 értéke egész, a 2*gyök(1000y) értéke meg vagy egész, vagy irracionális. Ha irracionális, az nem jó, mert egy egész és egy irracionális szám összege mindig irracionális, ez például belátható úgy, hogy ha egy irracionális számhoz hozzáadsz egy egészet, akkor a tizedesvessző utáni rész nem változik, már pedig ilyen szempontból az a lényeges. Így tehát arra kell hajtanunk, hogy a 2*gyök(1000y) értéke egész legyen.

Innen be tudod fejezni?

√x + √y = √1000

Emeljük négyzetre:

x + 2√x√y + y = 1000

Mindkét oldal úgy lehet csak egész, ha 2√x√y=√(4xy) egész:

4xy = n², ahol n ∈ ℕ

y = n²/(4x)

Az eredeti egyenlet újra:

√x + √(n²/(4x)) = √1000

szorozzunk √(4x)-szel:

2x + n = √(4000x)

A bal oldal egész, ezért

4000x = m², ahol m ∈ ℕ

20²·10x = m²

Úgy lehet a bal oldal négyzetszám, ha 10x négyzetszám, vagyis

x = 10·k², ahol k ∈ ℕ (1)

Újra az eredeti egyenlet:

k·√10 + √y = 10·√10

√y = (10-k)√10

y = 10·(10-k)² (2)

k=0,1,2,...10 értékek adják az x,y megoldásokat az (1) és (2) egyenletekbe helyettesítve.

√y = (10-k)√10

Emiatt.