Hogyan vezessem le az alábbi 2 feladatot?

1. Bővítsd (tehát szorozd a számlálót és a nevezőt is) gyök(4n+1)-gyök(4n)-nel, ekkor ugyanis a nevezőben a jól ismert (a+b)*(a-b) alak jelenik meg, ami a^2-b^2-tel egyenlő, így a nevezőben gyök(4n+1)^2-gyök(4n)^2 = 4n+1-4n=1 lesz. A számlálóban szorozz össze, és a kapott kifejezésre a határértéket nem nagy ördöngösség megadni.

2. A nevezőben 0 van, így a feladatnak nem sok értelme van.

A határértékszámításos példában ilyenkor úgy kell eljárni, hogy a törtet egy olyan törté kell alakítani, amelynek nincs gyök a nevezőjében.

Ehhez az egész törtet beszorzod 1-el, de praktikusan úgy írod fel, hogy a számlálóban és a nevezőben is az eredeti nevező komplex konjugáltja szerepljen.

Ilyenkor uis. az (x+y)*(x-y)=x^2-y^2 azonosság értelmében az új tört nevezőjében már nem lesz gyök.

Ez a kulcs az egészhez, utána már csak ismert típusra kell alakítani.

Az ilyen példákhoz tudom ajánlani Bárczy Differenciálszámítás c. könyvét, annak az elején több, ehhez hasonló kidolgozott feladatot találsz.

A második feladatban az összegzendő kifejezés tipikusan geometriai sornak látszik. Azaz a tanult középiskolai hatványozási azonosságok felhasználásával p^n alakra kell hozni, mert ebből tudjuk, hogy 1/(1-p) lesz a sorösszeg.

Tehát ha csak a számlálót nézem, akkor már lehet látni, hogy:

3*5^n-5^(n+2) alakú lesz, ezt tovább alakítva:

3*5^n-25*5^n=(3-25)*5^n=-22*5^n.

A nevező hasonlóan:

3*9^n-9^(n+0.5)=3*9^n-3*9^n=0.

Namost ez egy olyan speciális eset, amikor a sorozatot megadó képlet nem értelmes. Ezért a sor összege nem létezik.