Küszöbszám kereséssel vizsgáljuk a sorozat határértékét. Valaki elmagyarázná és segítene?

Megpróbálok segíteni. Addig megnézel egy videót?

https://www.youtube.com/watch?v=GbUWxxi3rz4

Ez egy divergens sorozat, bizonyára ezt látod ránézésre.

Ha konvergens lenne, akkor gondolom tudnád, hogy a "küszöbszámos dolog" úgy szólna, hogy:

Az a_n sorozatnak az A valós szám a határértéke, ha minden pozitív ε-hoz létezik n₀ küszöb, hogy n > n₀ esetén |a_n - A| < ε. (Az n₀ küszöb persze függhet ε-tól.)

Ha viszont divergens a sorozat, akkor ennek az ellenkezője mondható ki:

Bármilyen A valós számot és n₀ küszöböt is választasz, van olyan ε > 0, hogy n > n₀ esetén |a_n - A| > ε.

Ebbe a definícióba belefér a +∞-be, -∞-be divergáló sorozat is, meg az oszcilláló sorozat is (mint mondjuk az a_n = (-1)ⁿ), de ha csak az egyiket akarjuk definiálni, egyszerűbb is lehet a definíció. Most pl. a pozitív végtelenbe divergál a sorozat, ilyenkor ezt az egyszerűbb feltételt szokták kimondani:

Minden A valós számhoz létezik n₀ küszöb, hogy n > n₀ esetén a_n > A.

A példádhoz keressünk valamely A számhoz tartozó n₀ értéket. Ehhez először egyszerűsítsük a törtet valami nála kisebb n-től függő kifejezéssé:

(n³ + 1)/(3 + 2n²) = (n + 1/n²)/(3/n² + 2) > n / (3/n² + 2) ≥ n/5

Persze lehetett volna mást is kihozni, a lényeg, hogy a vége az eredetinél kisebb legyen és benne maradjon az n.

Az előbb először n²-tel osztottam a számlálót és nevezőt is, hogy csak egy helyen maradjon n, a többi helyen pedig n-ed törtek vannak, amiket aztán lehet valamilyen egész számmal helyettesíteni. Aztán a számláló helyett nála kisebbet írtam, a nevező helyett pedig nála nagyobbat, így egyre kisebb kifejezésekké módosítottam az eredetit. Kövesd végig megint a fenti átalakításokat.

Ezek után ha mondjuk az n₀/5 = A helyettesítést használjuk, vagyis az A értékhez az n₀ = 5A küszöböt választjuk, akkor ez az egyenlőtlenség lesz:

a_n = (n³ + 1)/(3 + 2n²) > n/5 > n₀/5 = A (ha n > n₀)

vagyis a_n > A, ha n > n₀

és éppen ezt kellett a definíció szerint kihozni.