(a+b+c) a négyzeten?

Mindent mindennel be kell szorozni:

a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

A legegyszerűbb úgy elvégezni a szorzást, hogy készítünk egy táblázatot; az első sorba és az első oszlopba kerülnek a tagok:

...| a | b | c |

a

b

c

Ezután a táblázat mezőibe az ahhoz tartozó sor és oszlop elején látható kifejezések szorzata kerül, tehát ezt kapjuk:

a^2 | ab | ac

ba | b^2 | bc

ca | cb | c^2

Az így kapott kifejezéseket összeadjuk:

a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2

Mivel a szorzatban a tényezők felcserélhetőek, így ab=ba, ac=ca és bc=cb, így ezeket összeadva 2ab, 2ac és 2bc tagokat kapjuk, tehát az összeg:

a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

___

Ha az (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 azonosság szerint akarod kibontani, akkor teheted azt, hogy valamelyik két betűt egyként kezeled, tehát:

(a+b+c)^2 = ((a+b)+c)^2, így a képlet szerint (a+b)^2 + 2*(a+b)*c + c^2 eredményt kapjuk, kibontva a zárójeleket a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 eredményt kapjuk, ez ugyanaz, mint amit fent kaptunk, csak más sorrendben.