Mivel egyenlő x1^2-x2^2?

A gyökök négyzetének különbségét nem lehet a Viète-formulákra visszavezetni.

Ugye a Viète-formulák – csúnyán fogalmazva – egy polinom gyökeiből képzett (elemi) szimmetrikus polinomokat adják meg. Most a konkrét esetben két gyök van, tehát egy másodfokú polinomról van szó, legyen ez x^2 – p*x + q. Ha ennek gyökei x1 és x2, akkor

x1 + x2 = p = x2 + x1 (ezt jelenti, hogy szimmetrikus, hogy a gyököket fel lehet cserélni, mindegy milyen sorrendben írod őket)

és

x1*x2 = q = x2*x1.

Szóval az a lényeg, hogy te bármilyen kifejezést is írsz fel p-vel és q-val, az csak olyan lehet, amit kibontva x1-re és x2-re, ezek felcserélhetők lesznek benne, nem változik az értéke a cserebere után.

Például olyat írhatsz, hogy

p^2 - 2*q = (x1 + x2)^2 – 2*x1*x2 = x1^2 + x2^2,

és láthatod, hogy ebben x1-et és x2-t felcseréve ugyanezt kapod,

de az NEM FOG MENNI, hogy az x1^2 – x2^2-et kikeverd p-ből és q-ból, mert ebben felcserélve x1-et és x2-t pontosan az ellentettjét fogod kapni, nem pedig újra önmagát.

(Bocsánat a szócséplésért, remélem, érthető maradt.)

Olyat lehet, hogy a megoldóképletből felírod x1-et és x2-t. Az előző válasz jelölésével

x1 = p/2 + sqrt(p^2 – 4*q)/2 és

x2 = p/2 – sqrt(p^2 – 4*q)/2.

Ebből

x1^2 – x2^2 = p*sqrt(p^2 – 4*q),

de ez csak akkor működik, ha tudod a sorrendet, tehát hogy x2 a –-os gyök, azaz kisebb, mint x1. Szóval ha ebbe visszaírod a Viète-formulák alapján x1-et és x2-t, akkor az lesz, hogy

(x1 + x2)*sqrt((x1 + x2)^2 – 4*x1*x2) = (x1 + x2)*sqrt(x1^2 – 2*x1*x2 + x2^2) = (x1 + x2)*sqrt((x1 – x^2)^2) = (x1 + x2)*|x1 – x2|,

ami még mindig szimmetrikus, tehát x1 és x2 szerepe felcserélhető benne. És ez csak akkor lesz x1^2 – x2^2, ha x2 < x1 (amit most a megoldóképlet felírásánál önkényesen eldöntöttünk, ezért tűnt jónak a felírás).