Van ennek a differenciálegyenlet rendszernek analitikus megoldása?

Nem látok ránézésre analitikus megoldást. Ha a fizikai hátteret ismernénk, akkor alkalmas transzformáció célravezető lehet.

Az egyenletek ránézésre hasonlóak a nehézségi erőtérben mozgó anyagi pont egyenleteihez.

Ha ez ferde hajítás, akkor szerintem rosszul van felírva a diffegyenlet-rendszer.

Nem értem, miért a sebesség nagyságát szorzod vx-el, vy-al.

Szerintem:

dvx/dt=-k*vx^2

dvy/dt=-g-k*vy^2.

Vagyis két független differenciálegyenletet kapunk, amely a sebességekre így már megoldhatók külön-külön.

A pálya felrajzolásához még a sebességeket vissza kell integrálni.

Igazad van, nem gondoltam végig. A mozgásegyenlet tehát:

dvx/dt=-k*vx*sqrt(vx^2+vy^2)

dvy/dt=-g-k*vy*sqrt(vx^2+vy^2).

Gondolkodjunk a fázistérben!

(dvy/dt)/(dvx/dt)=dvy/dvx.

Ezzel:

dvy/dvx=vy/vx+g/[k*vx*sqrt(vx^2+vy^2)].

Vezessük be a vy=vx*z transzformációt, ezzel a következő szeparálható változójú egyenletet kapjuk:

sqrt(1+z^2)*dz=(g/k*vx^3)*dvx.

Ez már közvetlen integrálható:

z*sqrt(1+z^2)+ln[z+sqrt(1+z^2)]=-g/(k*vx^2)+C, ahol C konstans.

Ez vx(z)-re rendezhető, ill. vy(z) is megkapható.

Vagyis gyakorlatilag analitikusan addig jutottunk el, hogy a vx-vy síkon a görbe paraméteres egyenletrendszerét előállítottuk.

Látható, hogy még a vy(vx) kapcsolat sem írható fel explicit módon, ugyanis a z paraméter analitikusan nem küszöbölhető ki.

Numerikus szimulációval lehet ennél több eredményt kihozni, abból grafikusan vagy táblázatosan megkaphatod a sebességek időfüggését.