Egy vizsgán 20 kérdésre kellett válaszolni. Minden jó válasz 5-5 pontot ér, minden rossz válasz esetén 2-2 pontot levontak. Ha a kérdésre nem válaszolt, akkor arra 0 pontot kapott. Valamelyik vizsgázó 48 pontot gyűjtött. Hány jó választ adott?

10 * 5 pont = 50

1 nem jól megválaszolt kérdés = -2

ez így 48

és 9 nem megválaszolt kérdés = 0

marad a 48...

amit a felettem lévő személy második megoldása amit én nem írtam le...

12 jó válasz 60 pont

6 rossz válasz -12

ez így 48

a többi pedig meg nem válaszolt.

Próbálkozással. 48 ponthoz legalább 10 jó válasz kell.

11 nem jó, mert 11 * 5 = 55 páratlan szám, nem lesz belőle 48.

12 jó.

13 nem jó, mert 13 * 5 = 65 páratlan szám, nem lesz belőle 48.

14 jó lehet. 14 * 5 = 70, tehát 11 rossz válasz kell. De nem lehet 11 rossz válasz, mert csak 20 kérdés van.

Tovább már nem érdemes nézni.

Lehet próbálgatás nélkül is, csak ahhoz utána kell nézned, hogy hogyan oldhatunk meg közvetlenül egy kétismeretlenes lineáris egyenletet egészek körében. (Ha gondolod, bepróbálkozhatsz ezzel a megoldással is egy piros pontért.)

Ugye ha a jó, rossz és üres válaszok száma rendre j, r és u, akkor ezek egyrészt nem negatív egészek, másrészt

(1) j + r + u = 20, u = 20 – j – r,

(2) 5*j – 2*r = 48.

A (2)-t úgy hívják, hogy 'kétismeretlenes lineáris diofantikus egyenlet'.

[link]

(Hogy bonyolult a neve az tök mindegy, csak azért kell, hogy rá lehessen keresni.)

Ezt pedig például 'euklideszi algoritmussal' lehet megoldani. (Ami lényegében maradékos osztások ismételgetését jelenti. De ezzel a névvel is lehet menőzni.)

[link]

[link]

Most van megoldás, mert LNKO(5, –2) = 1 osztja a 48-at. Előbb megoldjuk az

5*j' – 2*r' = 1 = LNKO(5, –2) = 48/48

egyenletet, ez könnyű, mert például a j' helyére 1-et írva

5 – 2*r' = 1, r' = 2.

Így például megoldása az eredeti egyenletnek a j0 = 48*j' = 48, és az r0 = 48*r' = 96.

Ezekből pedig a linkek alapján legyárthatjuk az összes megoldást úgy, hogy

j = j0 – 2/LNKO(5, –2)*n = 48 – 2*n,

r = r0 – 5/LNKO(5, –2)*n = 96 – 5*n,

ahol n tetszőleges egész.

Ezek után tudjuk még, hogy j és r nem negatívak, tehát

j = 48 – 2*n ⩾ 0 --> n ⩽ 24,

r = 96 – 5*n ⩾ 0 --> n ⩽ 19,

és (2) alapján

u = 20 – j – r = 20 – 48 – 96 + 2*n + 5*n = 7*n – 124 ⩾ 0 --> n ⩾ 18.

Ezeket összevetve n csak 18 vagy 19 lehet, így a végeredmény

j = 48 – 2*18 = 12 vagy j = 48 – 2*19 = 10,

azaz 12 vagy 10 jó választ adott a vizsgázó.

(A háromféle válasz eloszlása pedig (j, r, u) = (12, 6, 2) vagy (j, r, u) = (10, 1, 9).)