Mennyi (határozzuk meg) az x, y, z természetes számokat úgy, hogy az N = (1*2*3*…*100) /3^x*5^y*7^z szám a lehető legnagyobb, illetve a lehető legkisebb természetes szám legyen?

A nevező nem lehet egyenlő nullával az osztás miatt. Ahhoz, hogy a legnagyobb természetes számot megkapjuk, ahhoz ugye 1-gyel kell elosztani a számlálót. Ezt úgy érhetjük el, ha minden kitevőt (x,y és z) egyenlővé teszünk nullával, mert bármely szám nulladik hatványa 1 és háromszor 1 egyenlő lesz 1-gyel.

Legnagyobb természetes számnál a kitevők értékei -> x=y=z=0

A legkisebb természetes számnál meg kell nézni, hogy maximum mennyi 3-assal, mennyi 5-össel, mennyi 7-essel tudunk egyszerűsíteni a számlálóban, és ezeknek megfelelően felírni a hatványokat.

1-100-ig szorzásnál a számlálóban a 3-assal, 5-össel és 7-es szorzótényezővel az elején egyből tudunk egyszerűsíteni, tehát az első hatvány biztos mindegyiknél.

3^1 = 3

3^2 = 9

3^3 = 27

3^4 = 81

5^1 = 5

5^2 = 25

7^1 = 7

7^2 = 49

Megnéztük, hogy melyik az a legnagyobb hatvány, ami még nem lóg túl a 100-on. Egyszerűen össze kell adni a kitevőket. 3-asból lesz (1+2+3+4) = 10 db, 5-ösből lesz (1+2) = 3 db, 7-esből lesz (1+2) = 3 db.

Legkisebb természetes számnál a kitevők értékei -> x=10 , y = 3, z = 3.

Elég ha belegondolsz ebbe:

3*9*27*81 = 3*(3*3)*(3*3*3)*(3*3*3*3) = 10 db hármas, tehát ha 3-as számot a nevezőben a 10. hatványra emeljük, azaz a 3-ast tízszer megszorozzuk önmagával, akkor a kiütik egymást. Minél nagyobb számmal tudunk egyszerűsíteni, annál kisebb lesz a szám.