A Pascal háromszög alapján hogyan lehet kiszámolni hogy mennyi (a+b) ^n?

(a+b)^n azt jelenti, hogy szépen egymás mellé felírom az (a+b) kifejezést, és összeszorzom. Ha ezt kibontod, akkor az olyan tagoknak az összege lesz, hogy sorban minden (a+b)-ből kiválasztod az a-t vagy b-t, és ezeket összeszorzod. Például (a+b)^3= a*a*a + a*a*b + a*b*a + a*b*b + b*a*a + b*a*b + b*b*a + b*b*b.

Összesen 2^n ilyen tagod lesz, hisz minden (a+b) tényezőből 2féleképpen választhattál, de ezek között a tagok között lesznek, amik ugyanazok, pl. az a*a*b = a*b*a = b*a*a

Most nézzük meg, hogy az a^i*b^n-i tagot hányszor számoltuk össze, hányféleképpen lehet előállítani. Ehhez az n darab (a+b) közül i darabból kell az a-t választani, és a többiben b-t. Azt annyiféleképpen kaptuk meg a kibontásnál, ahány féleképpen az n darab (a+b)ből ki tudtuk választani azt az i darabot, amelyikből i-t veszünk, ez magyarul n alatt az i féleképpen, ennyiszer számoltuk az a^i*b^n-i tagot.

Szóval ha ezt minden tagra beírjuk, akkor azt kapjuk, hogy

(a+b)^n=(n alatt az n)*a^n + (n alatt az n-1)*a^n-1*b + ..+ (n alatt a 0)*b^n.

Ez együtthatók a Pascal háromszög n.-edik sorát adják.

Ugyanezt a gondolat a Pascal háromszögben elmondva, hogy elindulsz a fenti csúcsából (a 0. sorából), és jobbra lépsz lefelé egyet, ha az első (a+b) ből az a-t választod ki, balra, ha a b-t. A következő lépésben jobbra lépsz egyet, ha a második (a+b)-ből az a-t választod, balra, ha a b-t. Így tovább, mindig jobbra lépsz, ha az éppen sorra jövő (a+b)-ből az a-t választod, balra, ha a b-t.

Azt kell észrevenni, hogy azt, hogy hova érkezel a végén, csak az határozza meg, hogy hányszor léptél jobbra ill. balra (hányszor választottál a-t ill. b-t), szóval ha az n-edik sorban (ott fogod befejezni, mert n darab a+b -t szorzol össze) az i-edik elembe érkezel, az pont annak felel meg, hogy te egy a^i*b^n-i tagot kaptál. Az n-ik sor i-edik elemének száma pedig a Pascal háromszög tulajdonsága miatt pont az, hogy hányféleképpen tudsz oda eljutni, tehát, hogy hányféleképpen tudod kikeverni az a^i*b^n-i -t